Ensemble de définition d'une fonction et courbe représentative

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x - 7$.

1. Donner l’ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$.
   La fonction $f(x) = 4x - 7$ est une expression polynomiale (affine) : elle ne contient ni fraction avec $x$ au dénominateur, ni racine, ni condition particulière.
   Donc elle est définie pour tout réel $x$.
   Ainsi, $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$.

👉 Petit conseil : dès que tu vois une expression du type $ax+b$, pense “définie sur tout $\mathbb{R}$”.

2. Calculer $f(2)$ et $f(-1)$.
   Calcul de $f(2)$ :
   $f(2) = 4 \times 2 - 7$
   $f(2) = 8 - 7$
   $f(2) = 1$.

Calcul de $f(-1)$ :
$f(-1) = 4 \times (-1) - 7$
$f(-1) = -4 - 7$
$f(-1) = -11$.

👉 Petit conseil : remplace bien $x$ par le nombre entier entre parenthèses, surtout si c’est négatif.

3. Dire si $5$ admet un antécédent par la fonction $f$ et, si oui, le déterminer.
   Dire que $5$ admet un antécédent signifie : “existe-t-il un réel $x$ tel que $f(x)=5$ ?”
   On résout donc l’équation :
   $f(x) = 5$
   $4x - 7 = 5$
   $4x = 12$
   $x = 3$.

Donc $5$ admet un antécédent, et cet antécédent est $3$.

👉 Petit conseil : “trouver un antécédent” = “résoudre l’équation $f(x)=\text{nombre}$”.

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{1}{x + 2}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $\mathcal{D}_g$.
   La fonction $g(x)$ est une fraction. On doit interdire les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur.
   Le dénominateur est $x+2$.
   On cherche quand $x+2=0$ :
   $x+2=0$
   $x=-2$.

Donc $g(x)$ n’existe pas pour $x=-2$.
Ainsi, $\mathcal{D}_g = \mathbb{R}\backslash\lbrace -2\rbrace$.

👉 Petit conseil : pour une fraction, pense toujours “je cherche quand le dénominateur vaut $0$”.

2. Calculer $g(0)$ et $g(3)$.
   $g(0) = \dfrac{1}{0+2} = \dfrac{1}{2}$.
   $g(3) = \dfrac{1}{3+2} = \dfrac{1}{5}$.

👉 Petit conseil : calcule d’abord le dénominateur, puis seulement la fraction.

3. Expliquer pourquoi $g(-2)$ n’existe pas.
   $g(-2) = \dfrac{1}{-2+2} = \dfrac{1}{0}$.
   Or on ne peut pas diviser par $0$.
   Donc $g(-2)$ n’existe pas.

👉 Petit conseil : dès que tu obtiens $\dfrac{1}{0}$, tu sais que c’est interdit.

Exercice 3

On considère la fonction $h$ définie sur $[-3 \,;\, 5]$ par $h(x) = x^2 - 4$.

1. Donner l’ensemble de définition de $h$.
   Le problème indique directement que $h$ est définie sur $[-3\,;\,5]$.
   Donc l’ensemble de définition est $\mathcal{D}_h = [-3\,;\,5]$.

👉 Petit conseil : si l’intervalle est donné dans l’énoncé, tu n’as rien à calculer : tu recopies.

2. Calculer $h(-3)$, $h(0)$ et $h(2)$.
   $h(-3) = (-3)^2 - 4$
   $h(-3) = 9 - 4$
   $h(-3) = 5$.

$h(0) = 0^2 - 4$
$h(0) = -4$.

$h(2) = 2^2 - 4$
$h(2) = 4 - 4$
$h(2) = 0$.

👉 Petit conseil : attention à $(-3)^2$ : c’est $9$ et pas $-9$.

3. Dire si $-3$ est une image de $h$ et préciser son ou ses antécédents.
   Dire que $-3$ est une image signifie : “existe-t-il un $x$ dans $[-3,;,5]$ tel que $h(x)=-3$ ?”
   On résout :
   $h(x) = -3$
   $x^2 - 4 = -3$
   $x^2 = 1$
   $x = 1$ ou $x = -1$.

On vérifie que $1$ et $-1$ appartiennent bien à $[-3\,;\,5]$. C’est le cas.
Donc $-3$ est bien une image de $h$, et ses antécédents sont $-1$ et $1$.

👉 Petit conseil : quand tu trouves des solutions, vérifie toujours qu’elles sont dans l’intervalle de définition.

Exercice 4

Soit $k$ la fonction définie par $k(x) = (x - 1)^2 + 2$.

1. Donner l’ensemble de définition de $k$.
   $k(x) = (x - 1)^2 + 2$ est définie pour tout réel $x$ car un carré existe toujours.
   Donc $\mathcal{D}_k = \mathbb{R}$.

👉 Petit conseil : les fonctions du type $(x-a)^2+b$ sont toujours définies sur $\mathbb{R}$.

2. Tracer la courbe représentative de $k$.
   Pour tracer, on repère la forme canonique :
   $k(x) = (x - 1)^2 + 2$.
   C’est une parabole “ouverte vers le haut” (car coefficient du carré positif).
   Son sommet est au point $(1\,;\,2)$.

On peut compléter avec quelques points :
$k(0) = (0-1)^2+2 = 1+2=3$ donc point $(0\,;\,3)$.
$k(2) = (2-1)^2+2 = 1+2=3$ donc point $(2\,;\,3)$.
$k(3) = (3-1)^2+2 = 4+2=6$ donc point $(3\,;\,6)$.

Tu traces la parabole passant par ces points, symétrique par rapport à la droite $x=1$.

👉 Petit conseil : pour une parabole, place d’abord le sommet, puis 2 points symétriques de part et d’autre.

3. Lire graphiquement les images de $0$ et de $3$.
   Graphiquement, l’image de $0$ est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $0$, donc $k(0)=3$.
   Graphiquement, l’image de $3$ est l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $3$, donc $k(3)=6$.

👉 Petit conseil : “image de $x$” = “ordonnée du point de la courbe d’abscisse $x$”.

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)^2 - 3$.

1. Tracer la courbe représentative de $f$.
   On reconnaît la forme :
   $f(x) = (x + 1)^2 - 3 = (x - (-1))^2 - 3$.
   C’est une parabole ouverte vers le haut.
   Son sommet est $(-1\,;\,-3)$, et son axe de symétrie est $x=-1$.

On calcule quelques points :
$f(0) = (0+1)^2-3 = 1-3=-2$ donc point $(0\,;\,-2)$.
$f(-2) = (-2+1)^2-3 = 1-3=-2$ donc point $(-2\,;\,-2)$.
$f(1) = (1+1)^2-3 = 4-3=1$ donc point $(1\,;\,1)$.

On place ces points et on trace la parabole.

👉 Petit conseil : prends toujours des points “autour du sommet”, en utilisant la symétrie.

2. Résoudre graphiquement l’équation $f(x) = 1$.
   Résoudre graphiquement $f(x)=1$, c’est chercher les abscisses des points d’intersection entre la courbe de $f$ et la droite $y=1$.
   Ici, avec les points calculés, on voit déjà que $(1\,;\,1)$ est sur la courbe.
   Par symétrie par rapport à $x=-1$, l’autre solution est à la même distance de $-1$ :
   $1$ est à $2$ unités de $-1$, donc l’autre abscisse est $-1-2=-3$.

On obtient donc deux solutions : $x=-3$ et $x=1$.

👉 Petit conseil : pour une parabole, si tu trouves une intersection, pense à chercher l’autre avec la symétrie.

3. Donner l’ensemble des solutions.
   L’ensemble des solutions est
   $S=\lbrace -3 \,;\, 1\rbrace$.

👉 Petit conseil : écris toujours les solutions dans un ensemble avec des accolades.