Dérivée d'une fonction composée

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Théorème : Soient $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, à valeurs dans un intervalle $J$ et $v$ une fonction définie et dérivable sur $J$.

La fonction $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et : $\boxed{(v\circ u)'=u'\times (v'\circ u)}$ ce qui signifie que pour tout $x$ de $I$ : $\boxed{(v\circ u)'(x)=u'(x)\times v'[u(x)]}$

Propriétés : Conséquences :
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $I$,

$\circ\quad$ $(e^u)' = u' e^u$

$\circ\quad$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, $(u^n)' = n u' u^{n-1}$

$\circ\quad$ Si $u > 0$ sur $I$, $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Exemples :

$\circ\quad$ Si $f(x) = e^{x^2}$, alors $f'(x) = 2x e^{x^2}$

$\circ\quad$ Si $g(x) = (2x + 5)^3$, alors $g'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x + 5)^2$

Tableau récapitulatif : (ne pas oublier les conditions d'existence au préalable)

Exemple détaillé :

Soit à dériver la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}$.

Solution :

$f$ est la composée de la fonction racine carrée et de la fonction inverse dont les fonctions dérivées sont connues.

et il n'y a plus qu'à simplifier l'écriture obtenue : $f'(x)=\dfrac{-1}{2x\sqrt x}$.