Équations et inéquations exponentielles

Exercice 1

On utilise la propriété fondamentale :

$e^a=e^b \Leftrightarrow a=b$

car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.

1. Résoudre $e^{2x}=e^{x+3}$.

On applique la propriété :

$2x=x+3$

On résout :

$2x-x=3$
$x=3$

Solution : $x=3$.

👉 Conseil : dès que les bases sont les mêmes, on “supprime” le $e$ et on résout l’équation classique.

2. Résoudre $e^{3x}=e^5$.

On applique la propriété :

$3x=5$

Donc :

$x=\dfrac{5}{3}$

Solution : $x=\dfrac{5}{3}$.

👉 Conseil : ne cherche pas à compliquer, c’est une équation linéaire.

3. Résoudre $e^{x+4}=e^{2x}$.

On applique la propriété :

$x+4=2x$

On résout :

$4=x$

Solution : $x=4$.

👉 Conseil : vérifie toujours que tu as bien comparé les exposants.

Exercice 2

On utilise la propriété :

$e^a<e^b \Leftrightarrow a<b$

car la fonction exponentielle est strictement croissante.

1. Résoudre $e^{x}>e^{2x-1}$.

On compare les exposants :

$x>2x-1$

On résout :

$x-2x>-1$
$-x>-1$

On multiplie par $-1$ (on change le sens de l’inégalité) :

$x<1$

Solution : $x<1$.

👉 Conseil : attention au changement de sens quand tu multiplies par un nombre négatif.

2. Résoudre $e^{3x}\leq e^6$.

On compare les exposants :

$3x\leq 6$

On divise par $3$ :

$x\leq 2$

Solution : $x\leq 2$.

👉 Conseil : diviser par un nombre positif ne change pas le sens.

3. Résoudre $e^{2x+1}<e^{x+4}$.

On compare les exposants :

$2x+1<x+4$

On résout :

$2x-x<4-1$
$x<3$

Solution : $x<3$.

Exercice 3

Résoudre $e^{2x}-5e^x+4=0$.

On pose :

$X=e^x$

On sait que $X>0$.

On obtient :

$X^2-5X+4=0$

On factorise :

$X^2-5X+4=(X-1)(X-4)$

Donc :

$(X-1)(X-4)=0$

Ainsi :

$X=1$ ou $X=4$ qui sont bien tous les deux strictement positifs.

On revient à $x$ :

$e^x=1$ ou $e^x=4$

On sait que :

$e^0=1$

Donc :

$x=0$

La solution $e^x=4$ reste sous forme exacte.

Solutions :

$x=0$ ou $e^x=4$

👉 Conseil : sans logarithme, on ne peut pas écrire la solution exacte pour $e^x=4$, on la laisse sous cette forme. On peut éventuellement en trouver une valeur approchée à la calculatrice avec la fonction inverse de l'exponentielle.