Étude de fonctions et calcul d’aire : un logo vu par les mathématiques

Partie A - Etude de la fonction $f$

1. Pour tout $x$ appartient $\mathbb{R}$,

$\left\lbrace\begin{matrix}-1\le \cos x \le 1\\ -1\le \sin x \le 1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}{\red{-1\le -\cos x \le 1}}\\ -1\le \sin x \le 1\end{matrix}\right.$

Donc ${\red{-1}}-1+1\le {\red{-\cos x}}+\sin x+1\le {\red{1}}+1+1$

$-1\le -\cos x+\sin x+1\le 3$

$-1\times \text{e}^{-x}\le (-\cos x+\sin x+1)\times \text{e}^{-x}\le 3\times \text{e}^{-x}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }\text{e}^{-x}>0)$

$-\text{e}^{-x}\le \text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\le 3\text{e}^{-x}$

$\Longrightarrow\boxed{-\text{e}^{-x}\le f(x)\le 3\text{e}^{-x}}$

2. Limite de $f$ en $+\infty$ :

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}-\text{e}^{-x}=0\\\lim\limits_{x\to+\infty}3\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.$

En utilisant le théorème d'encadrement, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}-\text{e}^{-x}\le f(x)\le 3\text{e}^{-x}\\\lim\limits_{x\to+\infty}(-\text{e}^{-x})=\lim\limits_{x\to+\infty}3\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$

$\red{3.}$ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=[\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)]'$

$=(\text{e}^{-x})'\times(-\cos x+\sin x+1)+\text{e}^{-x}\times(-\cos x+\sin x+1)'$

$=(-\text{e}^{-x})\times(-\cos x+\sin x+1)+\text{e}^{-x}\times(\sin x+\cos x+0)$

$=-\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)+\text{e}^{-x}(\sin x+\cos x)$

$=\text{e}^{-x}[-(-\cos x+\sin x+1)+(\sin x+\cos x)]$

$=\text{e}^{-x}(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x)$

$=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$

$\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)}$

4. a) Puisque pour tout $x$ appartient $\mathbb{R}$ et a fortiori pour tout $x$ appartient $[-\pi;\pi]$, $\text{e}^{-x}>0$, nous en déduisons que le signe de $f'(x)$ sera le signe de $2\cos x-1$.

Résolvons d'abord l'équation $2\cos x-1=0$ dans l'intervalle $[-\pi;\pi]$.

Si $x\in[-\pi;\pi]$, alors $2\cos x-1=0\Longleftrightarrow 2\cos x=1\Longleftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\ \text{ou}\ x=-\dfrac{\pi}{3}$

Si $x\in[-\pi;\pi]$, alors $2\cos x-1<0\Longleftrightarrow \cos x<\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x\in[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}[\ \cup\ ]\dfrac{\pi}{3};\pi]$

$2\cos x-1>0\Longleftrightarrow \cos x>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x\in ]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}[$

D'où $f'(x)\le 0\Longleftrightarrow x\in[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}]\cup[\dfrac{\pi}{3};\pi]$

$f'(x)\ge 0\Longleftrightarrow x\in[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}]$

4. b) Variations de $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$

Donc $f$ est décroissante sur l'intervalle $[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}]$
$f$ est croissante sur l'intervalle $[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}]$
$f$ est décroissante sur l'intervalle $[\dfrac{\pi}{3};\pi]$

Partie B - Aire du logo

1. Etudions le signe de $f(x)-g(x)$.

$f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)-(-\text{e}^{-x}\cos x)$
$=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)+\text{e}^{-x}\cos x$
$=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1+\cos x)$
$=\text{e}^{-x}(\sin x+1)$

$\Longrightarrow\boxed{f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}(\sin x+1)}$

Or pour tout $x$ réel, $\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\\sin x\ge -1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\\sin x+1\ge 0\end{matrix}\right.$

Dès lors, pour tout $x$ réel, $f(x)-g(x)\ge 0$.

Par conséquent, la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$ sur $\mathbb{R}$.

2. a) Représentation graphique du domaine $D$.

2. b) Nous avons montré dans la question 1 que la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$ sur $\mathbb{R}$.

Il en est évidemment de même sur l'intervalle $[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}]$.

D'où l'aire du domaine $D$, en unité d'aire, se calcule par

$\mathscr{A}=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(f(x)-g(x)),dx$

$=\left[H(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$

$=H(\dfrac{3\pi}{2})-H(-\dfrac{\pi}{2})$

Or $H(\dfrac{3\pi}{2})=(-\dfrac{\cos\dfrac{3\pi}{2}}{2}-\dfrac{\sin\dfrac{3\pi}{2}}{2}-1)\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}=(0-\dfrac{-1}{2}-1)\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}$

$H(-\dfrac{\pi}{2})=(-\dfrac{\cos(-\dfrac{\pi}{2})}{2}-\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{2})}{2}-1)\text{e}^{\frac{\pi}{2}}=(0-\dfrac{-1}{2}-1)\text{e}^{\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}}$

D'où $\mathscr{A}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}-(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}})$

$\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}}\ \text{u. a.}}$

Puisque l'unité graphique est de $2$ centimètres, $1\ \text{u. a.}=4\ \text{cm}^2$.

Nous obtenons ainsi $\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}})\times 4\ \text{cm}^2\approx 9,60\ \text{cm}^2}$