Résoudre des équations du type sin(x)=...

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sin x = \dfrac{1}{2}$

On sait que $sin U = sin V$ équivaut à
$U = V + 2k\pi$ ou $U = \pi - V + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

On reconnaît que
$\dfrac{1}{2} = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Donc :

$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$
ou
$x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$

Ce qui donne :

$x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$
ou
$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$

👉 Conseil : toujours chercher l’angle de référence avant d’appliquer la formule générale.

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On sait que
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Donc :

$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + 2k\pi$

Ce qui donne :

$x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$x = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$

👉 Conseil : quand le sinus est négatif, pense aux cadrans 3 et 4.

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sin(3x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

On reconnaît :

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

Donc :

$3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
ou
$3x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

Donc :

$3x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$
ou
$3x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$

On divise par 3 :

$x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2k\pi}{3}$
ou
$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{2k\pi}{3}$

👉 Conseil : ne jamais oublier de diviser toute l’égalité quand il y a un coefficient devant $x$.

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $sin(2x) = -\dfrac{1}{2}$

On reconnaît :

$-\dfrac{1}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$

Donc :

$2x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$
ou
$2x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$

Donc :

$2x = -\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$
ou
$2x = \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi$

On divise par 2 :

$x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi$
ou
$x = \dfrac{7\pi}{12} + k\pi$

👉 Conseil : vérifie toujours le signe du sinus avant d’écrire la deuxième solution.

Exercice 5

Résoudre dans $[0~;~2\pi[$ :
$sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

On reconnaît :

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Les solutions générales sont :

$x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$
ou
$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$

Dans $[0~;~2\pi[$ :

$x = \dfrac{\pi}{3}$
et
$x = \dfrac{2\pi}{3}$

👉 Conseil : quand l’intervalle est borné, il faut éliminer les solutions hors intervalle.