Écrire une somme de cosinus et sinus sous forme déphasée

Exercice 1

On veut écrire $3\cos(t)+4\sin(t)$ sous la forme $A\cos(t+\varphi)$.

On utilise l’identité du cours :
$A\cos(t+\varphi)=A\cos(\varphi)\cos(t)-A\sin(\varphi)\sin(t)$

On identifie alors :
$a=3$
$b=4$

D’après la méthode du cours : $A=\sqrt{a^2+b^2}$

Donc :
$A=\sqrt{3^2+4^2}$
$A=\sqrt{9+16}$
$A=\sqrt{25}$
$A=5$

Ensuite :
$\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}=\dfrac{3}{5}$

et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{4}{5}$

On obtient donc :
$3\cos(t)+4\sin(t)=5\cos(t+\varphi)$

avec $\cos(\varphi)=\dfrac{3}{5}$ et $\sin(\varphi)=-\dfrac{4}{5}$

👉 Petit conseil : dans cette méthode, le signe devant $\sin(\varphi)$ est très important, car on a $b=-A\sin(\varphi)$.

Exercice 2

On veut écrire $5\cos(t)-12\sin(t)$ sous la forme $A\cos(t+\varphi)$.

On identifie :
$a=5$
$b=-12$

On calcule :
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
$A=\sqrt{5^2+(-12)^2}$
$A=\sqrt{25+144}$
$A=\sqrt{169}$
$A=13$

Puis :
$\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}=\dfrac{5}{13}$

et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{-12}{13}=\dfrac{12}{13}$

Donc :
$5\cos(t)-12\sin(t)=13\cos(t+\varphi)$

avec $\cos(\varphi)=\dfrac{5}{13}$ et $\sin(\varphi)=\dfrac{12}{13}$

👉 Petit conseil : quand $b$ est négatif, faites très attention au calcul de $-b$.

Exercice 3

On veut écrire $-2\cos(t)+2\sin(t)$ sous la forme $A\cos(t+\varphi)$.

On identifie :
$a=-2$
$b=2$

On calcule :
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
$A=\sqrt{(-2)^2+2^2}$
$A=\sqrt{4+4}$
$A=\sqrt{8}$
$A=2\sqrt{2}$

Puis :
$\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}=\dfrac{-2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Donc :
$-2\cos(t)+2\sin(t)=2\sqrt{2}\cos(t+\varphi)$

avec
$\cos(\varphi)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

On reconnaît des valeurs remarquables pour sinue et cosinus, $\varphi = \dfrac{5\pi}{4}$.

👉 Petit conseil : ici, $\cos(\varphi)$ et $\sin(\varphi)$ sont tous les deux négatifs, donc l’angle $\varphi$ est dans le troisième quadrant.

Exercice 4

On considère la tension : $u(t)=6\cos(50t)+8\sin(50t)$

1) Mettre cette expression sous la forme $A\cos(50t+\varphi)$

On veut écrire : $u(t)=A\cos(50t+\varphi)$

On identifie :
$a=6$
$b=8$

On calcule :
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
$A=\sqrt{6^2+8^2}$
$A=\sqrt{36+64}$
$A=\sqrt{100}$
$A=10$

Puis :
$\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$

et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{8}{10}=-\dfrac{4}{5}$

Donc :
$u(t)=10\cos(50t+\varphi)$

avec $\cos(\varphi)=\dfrac{3}{5}$ et $\sin(\varphi)=-\dfrac{4}{5}$

2) Donner l’amplitude de la tension

Dans la forme déphasée $A\cos(50t+\varphi)$, l’amplitude est le coefficient $A$. Le cours indique bien que cette écriture permet d’identifier directement l’amplitude.

Donc l’amplitude de la tension est : $10$

👉 Petit conseil : dans une expression du type $A\cos(\omega t+\varphi)$, l’amplitude est toujours $A$.

Exercice 5

On considère l’expression : $4\cos(2t)+3\sin(2t)$

1) Déterminer la valeur de $A$

On identifie :
$a=4$
$b=3$

On applique la formule :
$A=\sqrt{a^2+b^2}$
$A=\sqrt{4^2+3^2}$
$A=\sqrt{16+9}$
$A=\sqrt{25}$
$A=5$

2) Déterminer $\cos(\varphi)$ et $\sin(\varphi)$

On calcule :
$\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}=\dfrac{4}{5}$

et
$\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}=-\dfrac{3}{5}$

3) Écrire l’expression sous la forme $A\cos(2t+\varphi)$

On remplace par les valeurs trouvées :
$4\cos(2t)+3\sin(2t)=5\cos(2t+\varphi)$

avec $\cos(\varphi)=\dfrac{4}{5}$ et $\sin(\varphi)=-\dfrac{3}{5}$

👉 Petit conseil : le coefficient devant $t$ ne change pas pendant la transformation. Ici, on garde bien $2t$.