Écrire une somme de cosinus et sinus sous forme déphasée

I. Le but de ces transformations

On souhaite transformer une expression de la forme $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$
en une forme plus simple : $A\cos(\omega t+\varphi)$

Cette écriture permet de mieux interpréter une oscillation.

II. Méthode

On utilise l’identité :

$A\cos(\omega t+\varphi)=A\cos(\varphi)\cos(\omega t)-A\sin(\varphi)\sin(\omega t)$

On pose :

$a=A\cos(\varphi)$ et $b=-A\sin(\varphi)$

donc $a²=A²\cos²(\varphi)$ et $b²=A²\sin²(\varphi)$

$a²+b²=A²\left[\cos²(\varphi)+\sin²(\varphi)\right]$ ; mais $\cos²(\varphi)+\sin²(\varphi)=1$

On en déduit : $\boxed{A=\sqrt{a^2+b^2}}$

Puis : $\boxed{\cos(\varphi)=\dfrac{a}{A}}$ et $\boxed{\sin(\varphi)=-\dfrac{b}{A}}$

III. Exemple mathématique

Transformer $2\cos(t)+2\sin(t)$.

$A=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\cos(\varphi)=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(\varphi)=-\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Donc : $2\cos(t)+2\sin(t)=2\sqrt{2}\cos(t+\varphi)$

IV. Exemples en physique

$\checkmark$ En électricité, une tension alternative peut s’écrire :

$u(t)=3\cos(100t)+4\sin(100t)$

En reprenant les notations précédentes, $A=\sqrt{3^2+4^4}=\sqrt{9+16}=5$

On transforme l'expression en : $u(t)=5\cos(100t+\varphi)$

Cela permet d’identifier directement :

• l’amplitude : $5$

• le déphasage : $\varphi$ (à l'aide de la calculatrice)

C’est essentiel pour étudier les circuits électriques.

$\checkmark$ Ce type de formule est utile par exemple aussi quand on veut ajouter deux vibrations de même pulsation.