Exercice complet sur les nombres complexes : affixes, homothétie et alignement

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$, on considère les points $A, B, C, D$ et $\Omega$ d'affixes respectives
$a=1+2\text i,\quad b=\overline a,\quad c=\dfrac{3(3+\text i)}{2},\quad d=\dfrac{3(1+\text i)}{2}$
et $\omega=\dfrac 52$.

1. a)

Nous devons vérifier que $a+b=2$ et déduire que l'affixe du point $P$, milieu du segment $[AB]$ est $p=1$.

En effet,

$a+b = a + \overline a$
$\phantom{a+b} = (1+2\text i)+(1-2\text i)$
$\phantom{a+b} = 1+2\text i+1-2\text i$
$\phantom{a+b} = 2$
$\Longrightarrow\quad \boxed{a+b=2}$

Le point $P$ est le milieu du segment $[AB]$.

Donc
$p=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac 22 = 1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{p=1}$.

1. b)

Nous devons montrer que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation : $z^2-2z+5=0$ dans $\C$.

Montrons que $a$ et $b$ vérifient l'équation $z^2-2z+5=0$.

En effet :

$a^2 - 2a + 5 = (1+2\text i)^2 - 2(1+2\text i) + 5$
$\phantom{a^2-2a+5} = 1 +4\text i - 4 - 2 - 4\text i + 5$
$\phantom{a^2-2a+5} = 0$
$\Longrightarrow\boxed{a^2-2a+5=0}$

$b^2 - 2b + 5 = (1-2\text i)^2 - 2(1-2\text i) + 5$
$\phantom{b^2-2b+5} = 1 -4\text i - 4 - 2 + 4\text i + 5$
$\phantom{b^2-2b+5} = 0$
$\Longrightarrow\boxed{b^2-2b+5=0}$

Par conséquent, $a$ et $b$ sont les solutions de l’équation $z^2-2z+5=0$ dans $\mathbb C$.

2. a)

Nous devons vérifier que $|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|$.

$|\omega-a|=\left|\dfrac 52-(1-2\text i)\right|$
$\phantom{|\omega-a|}=\left|\dfrac 52-1+2\text i\right|$
$\phantom{|\omega-a|}=\left|\dfrac 32+2\text i\right|$
$\phantom{|\omega-a|}=\sqrt{\dfrac 94+4}$
$\phantom{|\omega-a|}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$
$\phantom{|\omega-a|}=\dfrac 52$
$\Longrightarrow\boxed{|\omega-a|=\dfrac 52}$

$|\omega-b|=\left|\dfrac 52-(1+2\text i)\right|$
$\phantom{|\omega-b|}=\left|\dfrac 52-1-2\text i\right|$
$\phantom{|\omega-b|}=\left|\dfrac 32-2\text i\right|$
$\phantom{|\omega-b|}=\sqrt{\dfrac 94+4}$
$\phantom{|\omega-b|}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$
$\phantom{|\omega-b|}=\dfrac 52$
$\Longrightarrow\boxed{|\omega-b|=\dfrac 52}$

$|\omega-c|=\left|\dfrac 52-\dfrac{3(3+\text i)}{2}\right|$
$\phantom{|\omega-c|}=\left|\dfrac 52-\dfrac 92-\dfrac 32\text i\right|$
$\phantom{|\omega-c|}=\left|-2-\dfrac 32\text i\right|$
$\phantom{|\omega-c|}=\sqrt{4+\dfrac 94}$
$\phantom{|\omega-c|}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}$
$\phantom{|\omega-c|}=\dfrac 52$
$\Longrightarrow\boxed{|\omega-c|=\dfrac 52}$

Par conséquent,
$\boxed{|\omega-a|=|\omega-b|=|\omega-c|=\dfrac 52}$.

2. b)

Nous en déduisons que $A\Omega=B\Omega=C\Omega=\dfrac 52$ et par suite, les points $A, B, C$ appartiennent au cercle de centre $\Omega$ de rayon $\dfrac 52$.
Par conséquent, $\Omega$ est le centre du cercle de rayon $\dfrac 52$ circonscrit au triangle $ABC$.

3. a)

Nous devons vérifier que $\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac 34\,\text i$.

$\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac{\dfrac{3(1+\text i)}{2}-\dfrac{3(3+\text i)}{2}}{(1+2\text i)-(1-2\text i)}$

$\phantom{\dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{\dfrac{3+3\text i-9-3\text i}{2}}{1+2\text i-1+2\text i}$

$\phantom{\dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{\dfrac{-6}{2}}{4\text i}$

$\phantom{\dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{-3}{4\text i}$

$\phantom{\dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{-3\text i}{-4}$

$\phantom{\dfrac{d-c}{a-b}}=\dfrac{3\text i}{4}$
$\Longrightarrow\boxed{\dfrac{d-c}{a-b}=\dfrac{3}{4}\text i}$

3. b)

Nous devons montrer que $d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}$.

En effet,

$d-b=\dfrac{3(1+\text i)}{2}-(1-2\text i)$
$\phantom{d-b}=\dfrac32+\dfrac 32\text i-1+2\text i$
$\phantom{d-b}=\dfrac12+\dfrac 72\text i$
$\Longrightarrow\boxed{d-b=\dfrac12+\dfrac 72\text i}$

$(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}=\left(\dfrac{3(3+\text i)}{2}-(1+2\text i)\right)\text i$
$\phantom{(c-a)e^{…}}=\left(\dfrac 92+\dfrac32\text i-1-2\text i\right)\text i$
$\phantom{(c-a)e^{…}}=\left(\dfrac 72-\dfrac12\text i\right)\text i$
$\phantom{(c-a)e^{…}}=\dfrac72\text i+\dfrac12$
$\Longrightarrow\boxed{(c-a)\text e^{\text i\frac \pi 2}=\dfrac12+\dfrac 72\text i}$

D'où :
$\boxed{d-b=(c-a)\,\text e^{\text i\frac \pi 2}}$

Montrons que les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

$d-b=(c-a)\text e^{\text i\frac \pi 2} \Rightarrow \dfrac{d-b}{c-a}=\text e^{\text i\frac \pi 2}$
$\Rightarrow \arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)=\arg\left(\text e^{\text i\frac \pi 2}\right)$
$\Rightarrow \boxed{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}$

Par conséquent, les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

4.

Soit $h$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac 23$ transformant tout point $M$ d’affixe $z$ en un point $M'$ d’affixe $z'$.
On pose $h(P)=G$.

4. a)

Nous devons vérifier que $z'=\dfrac 23 z+\dfrac 32+\dfrac 12\text i$.

Par définition :

$\overrightarrow{CM'}=\dfrac 23\overrightarrow{CM}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-c=\dfrac 23(z-c)$
$\Longleftrightarrow z'-c=\dfrac 23z-\dfrac 23c$
$\Longleftrightarrow z'=\dfrac 23z-\dfrac 23c+c$
$\Longleftrightarrow z'=\dfrac 23z+\dfrac 13c$
$\Longleftrightarrow z'=\dfrac 23z+\dfrac 13\times\dfrac{3(3+\text i)}{2}$
$\Longleftrightarrow z'=\dfrac 23z+\dfrac{3+\text i}{2}$
$\Longleftrightarrow \boxed{z'=\dfrac 23z+\dfrac 32+\dfrac 12\text i}$

4. b)

Nous devons montrer que l’affixe du point $G$ est $g=\dfrac{13}{6}+\dfrac12\text i$.

En effet :

$G=h(P)\Longleftrightarrow g=\dfrac 23 p+\dfrac 32+\dfrac 12\text i$
$\Longleftrightarrow g=\dfrac 23\times 1+\dfrac 32+\dfrac 12\text i$
$\Longleftrightarrow g=\dfrac 23+\dfrac 32+\dfrac 12\text i$
$\Longleftrightarrow g=\dfrac 46+\dfrac 96+\dfrac12\text i$
$\Longleftrightarrow \boxed{g=\dfrac{13}{6}+\dfrac12\text i}$

5.

Nous devons montrer que les points $\Omega, G$ et $D$ sont alignés.

$(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D})\equiv\arg\left(\dfrac{d-\omega}{g-\omega}\right)$

$\equiv \arg\left(\dfrac{\dfrac{3(1+\text i)}{2}-\dfrac 52}{\dfrac{13}{6}+\dfrac 12\text i-\dfrac 52}\right)$
$\equiv \arg\left(\dfrac{-1+\dfrac 32\text i}{-\dfrac26+\dfrac 12\text i}\right)$
$\equiv\arg\left(\dfrac{\dfrac{-6+9\text i}{6}}{\dfrac{-2+3\text i}{6}}\right)$
$\equiv\arg\left(\dfrac{-6+9\text i}{-2+3\text i}\right)$
$\equiv\arg\left(\dfrac{3(-2+3\text i)}{-2+3\text i}\right)$
$\equiv\arg(3)$
$\equiv 0\;[2\pi]$

$\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{\Omega G},\overrightarrow{\Omega D})\equiv 0;[2\pi]}$

Par conséquent, les points $\Omega, G$ et $D$ sont alignés.