Interpréter géométriquement des transformations complexes

$1.a)$ Déterminons le module et un argument de $z_A$ :
$|z_A| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
Soit $\theta_A$ un argument de $z_A$, on a :
$\cos (\theta_A) = \dfrac{1}{2} \hspace{15pt} \text{ et } \hspace{15pt} \sin (\theta_A) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D'où : un argument de $z_A$ est $\dfrac{\pi}{3}$

$1.b)$ Donnons la forme exponentielle de $z_A$ :
On sait que le module de $z_A$ est $2$ et un argument de $z_A$ est $\dfrac{\pi}{3}$, donc : $z_A = 2e^{\text i\frac{\pi}{3}}$.

$1.c)$ Plaçons les points $A$ et $B$ dans le plan muni du repère $(O~;~\vec{u},~\vec{v})$ :

$2.a)$ $R$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

$2.b)$ Déterminons la forme exponentielle de l'affixe $z_C$ du point $C$ :
$C$ est l'image du point $A$ par la transformation $R$, donc :
$z_C = e^{\text i\frac{2\pi}{3}}z_A = e^{\text i\frac{2\pi}{3}} \times 2e^{\text i\frac{\pi}{3}} = 2e^{\text i\pi}$
On en déduit que : $z_C = 2(\cos \pi + \text i \sin \pi) = -2$.

$2.c)$ Plaçons le point $C$ :
cf graphique

$2.d)$ Montrons que le point $B$ est l'image du point $C$ par la transformation $R$ :
Déterminons l'affixe de l'image du point $C$ par la transformation $R$ :
$e^{\text i\frac{\pi}{3}} z_C = e^{\text i\frac{\pi}{3}} \times (-2) = -2\left(\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \text i \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) = -2\left(-\dfrac{1}{2} + \text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - \text i\sqrt{3} = z_B$
D'où : le point $B$ est l'image du point $C$ par la transformation $R$.

$3.$ Déterminons la nature du triangle $ABC$ :
Déterminons les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$ :
$AB = |z_B - z_A| = |1 - \text i\sqrt{3} - 1 - \text i\sqrt{3}| = |-2\text i\sqrt{3}| = \sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{12}$
$AC = |z_C - z_A| = |-2 -1 - \text i\sqrt{3}| = |-3 - \text i\sqrt{3}| = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{12}$
$BC = |z_C - z_B| = |-2 - 1 + \text i\sqrt{3}| = |-3 + \text i\sqrt{3}| = \sqrt{(-3)^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{12}$
Comme $AB = AC = BC$, alors le triangle $ABC$ est équilatéral.