Dérivée d’un produit et d’un quotient

Exercice 1

On considère la fonction $f(x)=x^2(3x-4)$.

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on utilise la formule de dérivation d’un produit :

$(fg)'=f'g+fg'$

On pose :

$f(x)=x^2$ et $g(x)=3x-4$

On dérive chaque fonction :

$f'(x)=2x$

$g'(x)=3$

On applique la formule :

$f'(x)=2x(3x-4)+x^2\times 3$

On développe :

$f'(x)=6x^2-8x+3x^2$

$f'(x)=9x^2-8x$

Pour répondre à la question « calculer $f'(1)$ » :

$f'(1)=9\times 1^2-8\times 1$

$f'(1)=9-8$

$f'(1)=1$

👉 Petit conseil : dans un produit, pense toujours à dériver “le premier puis le second”, et ne jamais oublier le “+” entre les deux termes.

👉 Remarque : quand on a $f(x)=x^2(3x-4)$, on peut également tout de suite développer puis dériver, on trouve bien sûr le même résultat, et dans le cas présent, cela est plus rapide.

Exercice 2

On considère la fonction $h(x)=(2x+1)(x^2-5)$.

Pour répondre à la question « calculer $g'(x)$ », on utilise la formule du produit.

On pose :

$f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-5$

On dérive :

$f'(x)=2$

$g'(x)=2x$

On applique la formule :

$h'(x)=2(x^2-5)+(2x+1)(2x)$

On développe :

$h'(x)=2x^2-10+4x^2+2x$

$h'(x)=6x^2+2x-10$

Pour répondre à la question « calculer $h'(2)$ » :

$h'(2)=6\times 2^2+2\times 2-10$

$h'(2)=6\times 4+4-10$

$h'(2)=24+4-10$

$h'(2)=18$

👉 Petit conseil : une fois que tu as dérivé, développe et réduis pour obtenir une expression simple. Cela évite les erreurs dans les calculs suivants.

Exercice 3

On considère la fonction $h(x)=\dfrac{2x}{x-1}$.

Pour répondre à la question « calculer $h'(x)$ », on utilise la formule du quotient :

$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$

On pose :

$f(x)=2x$ et $g(x)=x-1$

On dérive :

$f'(x)=2$

$g'(x)=1$

On applique la formule :

$h'(x)=\dfrac{2(x-1)-2x\times 1}{(x-1)^2}$

On simplifie :

$h'(x)=\dfrac{2x-2-2x}{(x-1)^2}$

$h'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$

Pour répondre à la question « calculer $h'(3)$ » :

$h'(3)=\dfrac{-2}{(3-1)^2}$

$h'(3)=\dfrac{-2}{4}$

$h'(3)=-\dfrac{1}{2}$

👉 Petit conseil : dans un quotient, fais bien attention à l’ordre $f'g - fg'$. Beaucoup d’erreurs viennent d’un signe inversé.

Exercice 4

On considère la fonction $h(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}$.

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on applique la formule du quotient.

On pose :

$f(x)=x^2+1$ et $g(x)=2x$

On dérive :

$f'(x)=2x$

$g'(x)=2$

On applique la formule :

$h'(x)=\dfrac{2x(2x)-(x^2+1)\times 2}{(2x)^2}$

On développe :

$h'(x)=\dfrac{4x^2-2x^2-2}{4x^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^2-2}{4x^2}$

On peut simplifier :

$h'(x)=\dfrac{2(x^2-1)}{4x^2}$

$h'(x)=\dfrac{x^2-1}{2x^2}$

Pour répondre à la question « calculer $h'(1)$ » :

$h'(1)=\dfrac{1^2-1}{2\times 1^2}$

$h'(1)=\dfrac{0}{2}$

$h'(1)=0$

👉 Petit conseil : pense à simplifier les fractions à la fin. Cela permet de mieux interpréter le résultat.

Exercice 5

On considère la fonction $C(t)=\dfrac{5t+2}{t+1}$.

Pour répondre à la question « calculer $C'(t)$ », on applique la formule du quotient

On pose :

$f(t)=5t+2$ et $g(t)=t+1$

On dérive :

$f'(t)=5$

$g'(t)=1$

On applique la formule :

$C'(t)=\dfrac{5(t+1)-(5t+2)\times 1}{(t+1)^2}$

On développe :

$C'(t)=\dfrac{5t+5-5t-2}{(t+1)^2}$

$C'(t)=\dfrac{3}{(t+1)^2}$

Pour répondre à la question « calculer $C'(1)$ » :

$C'(1)=\dfrac{3}{(1+1)^2}$

$C'(1)=\dfrac{3}{4}$

Pour répondre à la question « interpréter le signe de $C'(1)$ » :

$C'(1)=\dfrac{3}{4}>0$

La dérivée est positive, donc la fonction est croissante à cet instant.

La concentration augmente à l’instant $t=1$.

👉 Petit conseil : une dérivée positive signifie toujours une augmentation de la grandeur étudiée. Pense à relier le calcul à une interprétation concrète.