Dérivation de fonctions sinusoïdales

Exercice 1

On considère la fonction $f(x)=3x^3+2\sin(x)$.

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on dérive chaque terme séparément.

On dérive d’abord $3x^3$.

On utilise la formule de dérivation des puissances :

$(x^n)'=nx^{n-1}$

Donc :

$(3x^3)'=3\times 3x^2=9x^2$

On dérive ensuite $2\sin(x)$.

On utilise la formule :

$(\sin(x))'=\cos(x)$

Donc :

$(2\sin(x))'=2\cos(x)$

On additionne les deux résultats :

$f'(x)=9x^2+2\cos(x)$

Pour répondre à la question « calculer $f'(0)$ », on remplace $x$ par $0$ :

$f'(0)=9\times 0^2+2\cos(0)$

$f'(0)=0+2\times 1$

$f'(0)=2$

La dérivée de la fonction est donc $f'(x)=9x^2+2\cos(x)$ et le nombre dérivé en $0$ vaut $2$.

👉 Petit conseil : quand une fonction est une somme, dérive chaque morceau séparément puis ajoute les résultats à la fin.

Exercice 2

On considère la fonction $g(x)=5\cos(2x)$.

Pour répondre à la question « calculer $g'(x)$ », on reconnaît une fonction trigonométrique composée.

On utilise la formule :

$(A\cos(\omega x+\varphi))'=-A\omega\sin(\omega x+\varphi)$

Ici :

$A=5$

$\omega=2$

$\varphi=0$

Donc :

$g'(x)=-5\times 2\sin(2x)$

$g'(x)=-10\sin(2x)$

Pour répondre à la question « calculer $g'(0)$ », on remplace $x$ par $0$ :

$g'(0)=-10\sin(0)$

$g'(0)=0$

La dérivée de la fonction est donc $g'(x)=-10\sin(2x)$ et le nombre dérivé en $0$ vaut $0$.

👉 Petit conseil : dans $\cos(2x)$, ne dérive pas seulement le cosinus. Il faut aussi multiplier par la dérivée de $2x$, donc par $2$.

Exercice 3

On considère la fonction $h(x)=x^2\cos(x)$.

Pour répondre à la question « calculer $h'(x)$ », on utilise la formule de dérivation d’un produit :

$(fg)'=f'g+fg'$

On pose :

$f(x)=x^2$

$g(x)=\cos(x)$

On dérive chaque fonction :

$f'(x)=2x$

$g'(x)=-\sin(x)$

On applique la formule du produit :

$h'(x)=2x\cos(x)+x^2\times(-\sin(x))$

Donc :

$h'(x)=2x\cos(x)-x^2\sin(x)$

Pour répondre à la question « calculer $h'(1)$ », on remplace $x$ par $1$ :

$h'(1)=2\times 1\times \cos(1)-1^2\times \sin(1)$

$h'(1)=2\cos(1)-\sin(1)$

La valeur exacte est donc :

$h'(1)=2\cos(1)-\sin(1)$

La dérivée de la fonction est donc $h'(x)=2x\cos(x)-x^2\sin(x)$ et le nombre dérivé en $1$ vaut $2\cos(1)-\sin(1)$.

👉 Petit conseil : dans un produit, écris vraiment les deux morceaux l’un sous l’autre avant de dériver. Cela aide à ne pas oublier un terme.

Exercice 4

On considère la fonction $h(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$ définie pour $x\neq 0$.

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on utilise la formule de dérivation d’un quotient :

$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$

On pose :

$f(x)=\sin(x)$

$g(x)=x$

On dérive chaque fonction :

$f'(x)=\cos(x)$

$g'(x)=1$

On applique la formule :

$h'(x)=\dfrac{\cos(x)\times x-\sin(x)\times 1}{x^2}$

Donc :

$h'(x)=\dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}$

Pour répondre à la question « calculer $h'(1)$ », on remplace $x$ par $1$ :

$h'(1)=\dfrac{1\times \cos(1)-\sin(1)}{1^2}$

$h'(1)=\cos(1)-\sin(1)$

La dérivée de la fonction est donc :

$h'(x)=\dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}$

et le nombre dérivé en $1$ vaut :

$h'(1)=\cos(1)-\sin(1)$

👉 Petit conseil : dans un quotient, attention à bien garder les parenthèses au numérateur. Elles évitent beaucoup d’erreurs de signe.

Exercice 5

On considère la fonction $x(t)=4\sin(3t+1)$ qui modélise un mouvement oscillatoire.

Pour répondre à la question « calculer $x'(t)$ », on utilise la formule :

$(A\sin(\omega t+\varphi))'=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$

Ici :

$A=4$

$\omega=3$

$\varphi=1$

Donc :

$x'(t)=4\times 3\cos(3t+1)$

$x'(t)=12\cos(3t+1)$

Pour répondre à la question « calculer $x'(0)$ », on remplace $t$ par $0$ :

$x'(0)=12\cos(3\times 0+1)$

$x'(0)=12\cos(1)$

Pour répondre à la question « interpréter le signe de $x'(0)$ », on remarque que $\cos(1)$ est positif.

Donc :

$x'(0)=12\cos(1)>0$

La dérivée est positive à l’instant $t=0$.

Cela signifie que le mouvement se fait dans le sens positif à cet instant.

Autrement dit, la position est en train d’augmenter.

👉 Petit conseil : en physique, la dérivée d’une position représente la vitesse instantanée. Son signe indique le sens du mouvement.