Dérivées de fonctions usuelles

Exercice 1

On considère la fonction $f(x)=x^4$.

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on utilise la formule de dérivation des puissances :

$f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

Ici, on a $n=4$.

Donc :

$f'(x)=4x^3$

Pour répondre à la question « calculer $f'(2)$ », on remplace $x$ par $2$ dans l’expression trouvée :

$f'(2)=4\times 2^3$

$f'(2)=4\times 8$

$f'(2)=32$

La dérivée de la fonction est donc $f'(x)=4x^3$ et le nombre dérivé en $2$ est $32$.

👉 Petit conseil : dès que tu vois une puissance simple comme $x^4$, pense immédiatement à la règle « le coefficient descend devant et la puissance baisse de 1 ».

Exercice 2

On considère la fonction $g(x)=5x^3-2x^2+7x$.

Pour répondre à la question « calculer $g'(x)$ », on dérive chaque terme séparément, car un polynôme se dérive terme à terme

On dérive d’abord $5x^3$ :

$(5x^3)'=5\times 3x^2=15x^2$

On dérive ensuite $-2x^2$ :

$(-2x^2)'=-2\times 2x=-4x$

On dérive enfin $7x$ :

$(7x)'=7$

On additionne les résultats :

$g'(x)=15x^2-4x+7$

Pour répondre à la question « calculer $g'(1)$ », on remplace $x$ par $1$ :

$g'(1)=15\times 1^2-4\times 1+7$

$g'(1)=15-4+7$

$g'(1)=18$

La dérivée de la fonction est donc $g'(x)=15x^2-4x+7$ et le nombre dérivé en $1$ vaut $18$.

👉 Petit conseil : dans un polynôme, dérive terme par terme sans te précipiter. Cela évite d’oublier un signe ou un coefficient.

Exercice 3

On considère la fonction $h(x)=\dfrac{3}{x}$ définie pour $x\neq 0$.

Pour répondre à la question « calculer $h'(x)$ », on utilise la formule de dérivation de l’inverse :

$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ pour $x\neq 0$

Comme :

$h(x)=3\times \dfrac{1}{x}$

on utilise aussi la règle de dérivation d’un multiple :

$(\lambda f)'=\lambda f'$

Donc :

$h'(x)=3\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$

$h'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$

Pour répondre à la question « calculer $h'(2)$ », on remplace $x$ par $2$ :

$h'(2)=-\dfrac{3}{2^2}$

$h'(2)=-\dfrac{3}{4}$

La dérivée de la fonction est donc $h'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$ et le nombre dérivé en $2$ vaut $-\dfrac{3}{4}$.

👉 Petit conseil : quand tu vois $\dfrac{3}{x}$, réécris mentalement $3\times \dfrac{1}{x}$. Cela aide à reconnaître tout de suite la formule à utiliser.

Exercice 4

On considère la fonction $f(x)=2x^3-5x^2+4x$.

Pour répondre à la question « calculer la dérivée $f'(x)$ », on dérive chaque terme du polynôme séparément

On dérive $2x^3$ :

$(2x^3)'=2\times 3x^2=6x^2$

On dérive $-5x^2$ :

$(-5x^2)'=-5\times 2x=-10x$

On dérive $4x$ :

$(4x)'=4$

On obtient donc :

$f'(x)=6x^2-10x+4$

Pour répondre à la question « déterminer le nombre dérivé en $x=3$ », on calcule :

$f'(3)=6\times 3^2-10\times 3+4$

$f'(3)=6\times 9-30+4$

$f'(3)=54-30+4$

$f'(3)=28$

La dérivée de la fonction est donc $f'(x)=6x^2-10x+4$ et le nombre dérivé en $3$ vaut $28$.

👉 Petit conseil : quand tu remplaces par une valeur numérique, calcule d’abord les puissances, puis les produits, puis les additions et soustractions.

Exercice 5

On considère la fonction $f(x)=-0,05x^2+0,8x+1$, qui modélise la trajectoire d’un ballon

Pour répondre à la question « calculer $f'(x)$ », on dérive chaque terme.

On dérive $-0,05x^2$ :

$(-0,05x^2)'=-0,05\times 2x$

$(-0,05x^2)'=-0,1x$

On dérive $0,8x$ :

$(0,8x)'=0,8$

On dérive $1$ :

$(1)'=0$

On obtient donc :

$f'(x)=-0,1x+0,8$

Pour répondre à la question « calculer $f'(4)$ », on remplace $x$ par $4$ :

$f'(4)=-0,1\times 4+0,8$

$f'(4)=-0,4+0,8$

$f'(4)=0,4$

Pour répondre à la question « interpréter le signe de $f'(4)$ », on remarque que :

$f'(4)=0,4>0$

Une dérivée positive signifie que la fonction est croissante à cet instant.

Donc, au point d’abscisse $4$, la hauteur du ballon est en train d’augmenter.

Le ballon monte encore à cet instant.

👉 Petit conseil : pour interpréter un nombre dérivé, regarde son signe :
si le résultat est positif, la courbe monte ;
si le résultat est négatif, la courbe descend ;
si le résultat est nul, on est à un sommet, un creux ou un point qu'on appelle point d'inflexion.