Certaines fonctions sont obtenues en multipliant ou en divisant des fonctions.

I. Dérivée d’un produit

$\boxed{\text{Si }f \text{ et }g \text{ sont dérivables }\; :\; (fg)'=f'g+fg'}$

$f(x)=x^2(2x+1)$

$f'(x)=2x\times (2x+1)+x^2\times 2=4x^2+2x+2x^2=6x^2+2x$

II. Dérivée d’un quotient

$\boxed{\text{Si }g(x)\neq 0 \,:\, \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}}$

$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$

$f'(x)=\dfrac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}$

$f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}$

Certaines grandeurs physiques sont des rapports : la vitesse, une densité ou une concentration.

Dans un réacteur chimique, on note $C(t)$ la concentration d’un produit (en mol/L) au cours du temps $t$ .

La concentration peut évoluer pendant la réaction.
La dérivée $C'(t)$ représente la vitesse de variation de la concentration à l’instant $t$ .

Par exemple : si $C'(10)=-0,02$ , alors cela signifie qu’à l’instant $t=10$ s , la concentration diminue de $0,02$ mol/L par seconde.

La dérivée permet donc de savoir à quelle vitesse la réaction chimique consomme ou produit une substance.