Dérivées du sinus et du cosinus

Les fonctions trigonométriques apparaissent souvent dans les phénomènes périodiques.

I. Formules de dérivation

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

Exemple

Si $f(x)=3\sin x$ alors $f'(x)=3\cos x$

Exemple

Si $f(x)=2\cos x$ alors $f'(x)=-2\sin x$

II. Et en physique ?

Ces fonctions modélisent des oscillations, des ondes ou des vibrations.

Exemple : l'oscillation d’un ressort

On accroche une petite masse à un ressort.
Lorsqu’on tire la masse puis qu’on la lâche, elle oscille autour de sa position d’équilibre.

La position de la masse peut être modélisée par une fonction trigonométrique.

On note $t$ le temps (en secondes) et $x(t)$ la position de la masse (en mètres).

On peut par exemple avoir : $x(t)=0,1\cos(2t)$

La masse oscille donc autour de la position d’équilibre avec une amplitude de 0,1 m.

Vitesse de la masse

La vitesse correspond à la dérivée de la position : $x'(t)$

On dérive la fonction :

$x'(t)=-0,2\sin(2t)$

La vitesse est donc une fonction sinus.

Interprétation physique

Lorsque la masse passe par la position d’équilibre, la fonction cosinus s’annule.

À cet instant : $x(t)=0$ mais la vitesse est maximale.

Au contraire, lorsque la masse atteint une position extrême, la vitesse devient nulle.

La dérivée permet donc de décrire comment la vitesse varie pendant l’oscillation.