Dérivation des fonctions de la forme f(ax+b) et des fonctions trigonométriques composées

I. Un schéma à retenir pour dériver des fonctions composées

II. Dérivée de $x\to f(ax+b)$

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels.

Supposons que $u(x)=ax+b$ , sa dérivée vaut $a$.

Si une fonction $f$ est dérivable, alors la fonction $x\to f(ax+b)$ est également dérivable.

La règle de dérivation est la suivante : $\boxed{(f(ax+b))'=a\,f'(ax+b)}$

Autrement dit, on dérive la fonction $f$ puis on multiplie par le coefficient $a$.

Exemple

On considère la fonction : $g(x)=\sin(3x+1)$

Soit : $x\to 3x+1\to \sin (3x+1)$

Sa dérivée est : $g'(x)=3\times \cos(3x+1)$

III. Cas des fonctions utilisées pour modéliser des oscillations

En physique, de nombreux phénomènes périodiques sont modélisés par des fonctions du type : $A\cos(\omega t+\varphi)$ ou $A\sin(\omega t+\varphi)$

où :

• $A$ est l’amplitude,

• $\omega$ est la pulsation,

• $\varphi$ est la phase à l’origine.

En appliquant la règle vue au (§ I.)

Formules de dérivation

$\big(A\cos(\omega t+\varphi)\big)'=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$

$\big(A\sin(\omega t+\varphi)\big)'=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$

Interprétation physique

Si la fonction représente la position d’un point oscillant, alors :

• la dérivée représente la vitesse instantanée ;

• la vitesse reste également une fonction trigonométrique.

Par exemple, si :

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$

alors la vitesse est :

$x'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$

Ces relations permettent de décrire précisément les oscillations d’un ressort, d’une onde ou d’un signal périodique.