De l'utilité du conjugué

Exercice 1

👉 Conseil : penser d’abord au domaine de définition. L’expression n’a pas de sens si $z^2+1=0$, c’est-à-dire si $z=\pm i$. On travaille donc avec $z\neq i$ et $z\neq -i$.
On cherche les $z$ tels que $\dfrac{1}{z^2+1}$ soit réel.

$\dfrac{1}{z^2+1}$ est réel $\iff$ son conjugué est égal à lui-même, c’est-à-dire
$\dfrac{1}{z^2+1}$ est réel $\iff$$\overline{\dfrac{1}{z^2+1}}=\dfrac{1}{z^2+1}$.

Or, pour tout $z\in\mathbb C$, on a $\overline{\dfrac{1}{z^2+1}}=\dfrac{1}{\overline z^{,2}+1}$. Donc $\dfrac{1}{z^2+1}=\dfrac{1}{\overline z^{,2}+1}$.

👉 On travaille donc avec $z\neq i$ et $z\neq -i$.

Sous cette condition, on peut simplifier :
$z^2+1=\overline z^{,2}+1 \iff z^2=\overline z^{,2}$.

On factorise la différence de carrés :
$z^2-\overline z^{,2}=(z-\overline z)(z+\overline z)=0$.

Ainsi, on obtient deux cas :
$z=\overline z$ ou $z=-\overline z$. (produit de facteurs nul)

1. $z=\overline z \iff z$ est réel.
   Tous les réels conviennent (et bien sûr $z\neq \pm i$ ne pose pas de problème ici, puisque $\pm i$ ne sont pas réels).

2. $z=-\overline z \iff z$ est imaginaire pur.
   
   👉 Attention : il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur soit $z\neq i$ et $z\neq -i$.

Conclusion : l’ensemble des solutions est l’union des réels et des imaginaires purs, en excluant $i$ et $-i$ (car l’expression n’est pas définie pour ces deux valeurs).

La bonne réponse est donc : c. « la réunion de l’ensemble des nombres réels et de l’ensemble des imaginaires purs privé de $i$ et de $-i$ ».

👉 Le "ou" du produit nul correspond à la réunion des deux ensembles.

Exercice 2

On pose $z'=\dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1}$

1.$\checkmark$ Ou on connaît le module et on sait que $z\overline z=|z|^2$ et on dit que $z\overline z+1=|z|^2+1$ qui ne peut donc pas être nul

$\checkmark$ ou on remplace $z$ par $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, $z\overline z+1=x^2+y^2+1$ qui ne peut pas être nul.

L'expression est donc bien toujours définie.

2.a. Montrer que $z'$ est réel si et seulement si $(z-\overline z)(z+\overline z)=4i$.

$z'$ réel $\iff z'=\overline{z'}$.

On calcule le conjugué du quotient qui est le quotient des conjugués. Mais

$\checkmark$ le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués,

$\checkmark$ le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués,

$\checkmark$ et le conjugué d'un conjugué est le complexe lui-même.

Ce qui donne :

$\overline{z'}=\dfrac{\overline{z^2-2i}}{\overline{z\overline z+1}}$

$\phantom{\overline{z'}}=\dfrac{\overline {z^{2}}-\overline{2i}}{\overline {z\overline{z}}+\overline 1}$

$\phantom{\overline{z'}}=\dfrac{{\overline z}^2+2i}{\overline z z+ 1}$

On égalise et on simplifie par le même dénominateur (non nul car $z\overline z+1=|z|^2+1>0$) :
$\dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1}=\dfrac{\overline z^{2}+2i}{z\overline z+1}\ \iff\ z^2-2i=\overline z^{2}+2i$.

On regroupe :
$z^2-\overline z^{2}=4i\ \iff\ (z-\overline z)(z+\overline z)=4i$.

La condition équivalente est donc démontrée.

2.b. On écrit $z=x+iy$ avec $x,y\in\mathbb R$. Alors $z-\overline z=2iy$ et $z+\overline z=2x$. La condition devient
$(2iy)(2x)=4i\ \iff\ 4ixy=4i\ \iff\ xy=1$.

Donc $x\neq0$ (car s'il était nul, le produit $xy$ serait nul, ce qui n'est pas le cas)

et $y=\dfrac{1}{x}$, d’où $z=x+i\,\dfrac{1}{x}$.
Réciproquement, pour un $x\in\mathbb R^*$, si $z=x+\dfrac{i}{x}$, alors $(z-\overline z)(z+\overline z)=4i$ et, par 2.a, $z'$ est réel. On a bien l’équivalence demandée.

3. Dans le cours, on sait que :

$z'$ imaginaire pur $\iff \overline {z'}=-z'$.

On reprend le calcul fait pour la question 2.

$\dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1}=-\dfrac{\overline z^{2}+2i}{z\overline z+1}\ \iff\ z^2-2i=-(\overline z^{2}+2i)$

$\iff z^2=\overline z^{2}$

On remplace $z$ par $x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.

On obtient : $x=y$ ou $x=-y$.

Et $z$ s'écrit bien comme attendu $x+ix$ ou $x-ix$ avec $x$ réel.