Conjugué d'un nombre complexe

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I. Définition

Définition : Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + \mathcal{i}b$, avec $a$ et $b$ deux nombres réels. Alors, le conjugué de $z$, noté $\overline{z}$, est le nombre complexe défini par :
$\overline{z} = a - \mathcal{i}b$.

Exemple : Le conjugué de $z = 3 + 5\mathcal{i}$ est $\overline{z} = 3 - 5\mathcal{i}$.

II. Propriétés

Pour tout nombre complexe $z$, on a :

$\circ\quad$ $z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)$

$\circ\quad$ $z - \overline{z} = 2\mathcal{i} \operatorname{Im}(z)$

$\circ\quad$ $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline{z}$

$\circ\quad$ $z \in \mathcal{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\overline{z}$

$\circ\quad$ $\overline{\overline{z}} = z$

$\circ\quad$ $z \overline{z} = a^2 + b^2$

Démonstrations : Soit $z = a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux réels.

$\circ\quad$ $\begin{aligned}z + \overline{z} & = a + \mathcal{i}b + a - \mathcal{i}b \\ & = 2a \\ & = 2\operatorname{Re}(z)\end{aligned}$

$\circ\quad$ $\begin{aligned}z - \overline{z} & = a + \mathcal{i}b - (a - \mathcal{i}b) \\ & = a + \mathcal{i}b - a + \mathcal{i}b \\ & = 2\mathcal{i}b \\ & = 2\mathcal{i}\operatorname{Im}(z)\end{aligned}$

$\circ\quad$ $\begin{aligned}z \in \mathbb{R} & \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z) = 0 \\ & \Leftrightarrow 2\mathcal{i}\operatorname{Im}(z) = 0 \\ & \Leftrightarrow z - \overline{z} = 0 \\ & \Leftrightarrow z = \overline{z}\end{aligned}$.

$\circ\quad$ $\begin{aligned}z \in \mathcal{i}\mathbb{R} & \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z) = 0 \\ & \Leftrightarrow 2\operatorname{Re}(z) = 0 \\ & \Leftrightarrow z + \overline{z} = 0 \\ & \Leftrightarrow z = -\overline{z}\end{aligned}$

$\circ\quad$ $\overline{z} = a - \mathcal{i}b$, donc $\begin{aligned}\overline{\overline{z}} & = a + \mathcal{i}b \\ & = z\end{aligned}$

$\circ\quad$ $\begin{aligned}z\overline{z} & = (a + \mathcal{i}b)(a - \mathcal{i}b) \\ & = a^2 - \mathcal{i}^2 b^2 \\ & = a^2 + b^2\end{aligned}$

Remarque :

$\circ\quad$ Des points précédents, on déduit que :
$\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$
$\operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2\mathcal{i}}$

$\circ\quad$ Un nombre complexe sous la forme d’un quotient peut se mettre sous forme algébrique en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple :

$\begin{aligned} \dfrac{1}{3 - 5\mathcal{i}} \times \dfrac{3 + 5\mathcal{i}}{3 + 5\mathcal{i}} & = \dfrac{3 + 5\mathcal{i}}{(3 + 5\mathcal{i})(3 - 5\mathcal{i})} \\& = \dfrac{3 + 5\mathcal{i}}{3^2 + 5^2} \\& = \dfrac{3 + 5\mathcal{i}}{9 + 25} \\& = \dfrac{3 + 5\mathcal{i}}{34}\end{aligned}$

III. Conjugués et opérations

Propriétés : Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a :

$\circ\quad$ $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$

$\circ\quad$ $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$

$\circ\quad$ $\overline{kz} = k\overline{z}, \quad k \in \mathbb{R}$

$\circ\quad$ Si $z \neq 0$, alors $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\overline{z}}$

$\circ\quad$ Si $z \neq 0$, alors $\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)} = \dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}$

$\circ\quad$ Pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n} = (\overline{z})^n$

Un exemple de démonstration : Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes :

$\circ\quad$ $\overline{z + z'} = \overline{(a + \mathcal{i}b) + (a' + \mathcal{i}b')}$

$= \overline{(a + a') + \mathcal{i}(b + b')}$

$= (a + a') - \mathcal{i}(b + b')$

$= a + a' - \mathcal{i}b - \mathcal{i}b'$

$= (a - \mathcal{i}b) + (a' - \mathcal{i}b')$

$= \overline{z} + \overline{z'}$

Exemple d'application : On donne $z = 2 + 3i$ et $z' = 4 - 5i$. Calculer $z \times \overline{z'}$ où $\overline{z'}$ désigne le conjugué de $z$.

$\begin{aligned} z \times \overline{z'} & = (2 + 3i)(4 + 5i) \\ & = 8 + 10i + 12i + 15i^2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} z \times \overline{z'} & = (2 + 3i)(4 + 5i) \\ & = 8 + 10i + 12i + 15i^2 \\ & = 8 + 22i - 15 \\ & = -7 + 22i \end{aligned}$