Affixe, module et arguments

Exercice 1

Remarque : quand un énoncé précise « construire », les lignes de construction doivent rester visibles.

$\checkmark\quad$ A d’affixe $3-2\text i$
Les coordonnées de A sont donc $(3\;;-2)$, et A est donc facile à représenter.

$\checkmark\quad$ B d’affixe $\left[3\;;\dfrac{\pi}{4}\right]$
On sait donc que $OB=3$ et que $(\widehat{\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}})$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$.

$\checkmark\quad$ C d’affixe $z_C=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text i$
Je calcule le module de $z_C$:
$|z_C|=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}}=3$

Je factorise $z_C$ par 3, dans le but de trouver un de ses arguments :
$z_C=3\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text i\right)$

On reconnaît les lignes trigonométriques de $\dfrac{2\pi}{3}$.
Donc $z_C=3\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$.
On peut dès lors construire le point C.

$\checkmark\quad$ D d’affixe $-2\text i$
Ce point a une affixe imaginaire pure. Ses coordonnées sont $(0\;;-2)$ ; le point D est donc sur l’axe des imaginaires purs.

Exercice 2

$\checkmark\quad$ Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il suffit que $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

soit $z_D-z_C=z_A-z_B$ ou encore $z_D=z_C+z_A-z_B$.

Cela donne : $z_D=2+3\text i$.

Il ne faut pas hésiter à visualiser le tout sur un graphique.

$\checkmark\quad$ On souhaite évaluer une mesure de l’angle $\widehat{\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)}$.

Pour cela, il suffit d’évaluer $\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$.

$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{3+3\text i}{2+\text i}=\dfrac{(3+3\text i)(2-\text i)}{5}=\dfrac{3(3+\text i)}{5}$

Le module est $\dfrac{3}{5}\sqrt{9+1}=\dfrac{3}{5}\sqrt{10}$.

Donc
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{3}{5}\sqrt{10}\left(\dfrac{3+\text i}{\sqrt{10}}\right)$.

À l’aide de la calculatrice (en mode radian), je cherche $\theta$ tel que
$\cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ et $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

On trouve $\theta \approx 0,32$ rad (à $2\pi$ près).