Équation du second degré dans C à coefficients réels

Exercice 1

$\checkmark$ Résolution de l'équation $z^2=-4$

$z^2=-4\Leftrightarrow z^2+4=0\Leftrightarrow z^2-(2\text i)^2=0\Leftrightarrow (z-2\text i)(z+2\text i)=0$
$\Leftrightarrow (z-2\text i)=0 \text{ ou } (z+2\text i)=0$
$\Leftrightarrow z=2\text i \text{ ou } z=-2\text i$

Conclusion : l'équation $z^2=-4$ admet 2 solutions : $2\text i$ et $-2\text i$

$\checkmark$ Résolution de l'équation $-5z^2+2z-1=0$

Calcul du discriminant $\Delta=2^2-4\times (-5)\times (-1)=4-20=-16=(4\text i)^2$
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées

$x_1=\dfrac{-2-4\text i}{-10}=\dfrac{2+4\text i}{10}=\dfrac{1+2\text i}{5} \text{ et } x_2=\dfrac{1-2\text i}{5}$

Conclusion : l'équation $-5z^2+2z-1=0$ admet 2 solutions : $\dfrac{1+2\text i}{5} \text{ et } \dfrac{1-2\text i}{5}$

$\checkmark$ Résolution de l'équation $z^4+4z^2-5=0$

Posons $Z=z^2$. L'équation s'écrit alors $Z^2+4Z-5=0$

On observe que $1$ est une racine évidente et par conséquent $Z^2+4Z-5=(Z-1)(Z+5)$
On observe alors que $-5$ est la seconde racine de l'équation $Z^2+4Z-5=0$

On a alors $z^2=1 \text{ ou } z^2=-5.$
$z^2=1 \text{ ou } z^2=-5 \Leftrightarrow z=1 \text{ ou } z=-1 \text{ ou } z=\text i\sqrt{5} \text{ ou } z=-\text i\sqrt{5}$

Conclusion : l'équation $z^4+4z^2-5=0$ admet 4 solutions : $1;-1;\text i\sqrt{5} \text{ et } -\text i\sqrt{5}$

Exercice 2

1. $(1-\sqrt{3})^2=1^2-2\times 1\times \sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$

2. Résolution de l'équation $z^2+(1-\sqrt{3})z+2-\sqrt{3}=0$

Le discriminant vaut $\Delta=(1-\sqrt{3})^2-4\times 1\times (2-\sqrt{3})=1-2\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}=-4+2\sqrt{3}$

or $(1-\sqrt{3})^2=4-2\sqrt{3} \text{ donc } -4+2\sqrt{3}=-(4-2\sqrt{3})=-(1-\sqrt{3})^2=(\text i(1-\sqrt{3}))^2$

donc $\Delta=(\text i(1-\sqrt{3}))^2$

On déduit que l'équation $z^2+(1-\sqrt{3})z+2-\sqrt{3}=0$ admet deux racines complexes conjuguées