Entraînement

Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé (2)

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Exercice 1

On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; I ; J)(O~;~I~;~J).
On considère les points A(−2 ; 3)A(-2~;~3), B(3 ; −1)B(3~;~-1), C(4 ; 4)C(4~;~4), K(−11 ; 32)K\left(-11~;~\dfrac{3}{2}\right), L(74 ; 0)L\left(\dfrac{7}{4}~;~0\right) et M(196 ; 16)M\left(\dfrac{19}{6}~;~\dfrac{1}{6}\right).

  1. Déterminer le réel kk tel que AK→=k AC→\overrightarrow{\text{AK}}=k~\overrightarrow{\text{AC}}.

  2. Déterminer le réel kk tel que AL→=k AB→\overrightarrow{\text{AL}}=k~\overrightarrow{\text{AB}}.

  3. Déterminer le réel kk tel que BM→=k BC→\overrightarrow{\text{BM}}=k~\overrightarrow{\text{BC}}.

  4. Démontrer que les points KK, LL et MM sont alignés.

Exercice 2

On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; I ; J)(O~;~I~;~J).
On considère les points A(4 ; −2)A(4~;~-2), B(2 ; 2)B(2~;~2), C(−4 ; −1)C(-4~;~-1) et D(−2 ; −5)D(-2~;~-5).

  1. Déterminer les coordonnées du point EE tel que ABECABEC soit un parallélogramme.

  2. Les droites (AB)(AB) et (DE)(DE) sont-elles parallèles ?

  3. On appelle MM le milieu du segment [BC][BC].
    Les points AA, OO et MM sont-ils alignés ?

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Exercice 1

  1. AK→(−9 ; −32)\overrightarrow{\text{AK}}(-9~;~-\dfrac{3}{2}) et AC→(6 ; 1)\overrightarrow{\text{AC}}(6~;~1)

On a −96=−32\dfrac{-9}{6}=-\dfrac{3}{2} et −321=−32\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{1}=-\dfrac{3}{2} donc AK→=−32 AC→\overrightarrow{\text{AK}}=-\dfrac{3}{2}~\overrightarrow{\text{AC}}.

👉 Conseil : pour montrer la colinéarité avec des coordonnées, compare les quotients x1x2\dfrac{x_1}{x_2} et y1y2\dfrac{y_1}{y_2} (quand c’est possible).

  1. AL→(154 ; −3)\overrightarrow{\text{AL}}(\dfrac{15}{4}~;~-3) et AB→(5 ; −4)\overrightarrow{\text{AB}}(5~;~-4)

On a 1545=34\dfrac{\dfrac{15}{4}}{5}=\dfrac{3}{4} et −3−4=34\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4} donc AL→=34 AB→\overrightarrow{\text{AL}}=\dfrac{3}{4}~\overrightarrow{\text{AB}}.

👉 Conseil : garde les fractions sous forme ab\dfrac{a}{b}, tu évites des erreurs de calcul.

  1. BM→(16 ; 76)\overrightarrow{\text{BM}}\left(\dfrac{1}{6}~;~\dfrac{7}{6}\right) et BC→(1 ; 5)\overrightarrow{\text{BC}}(1~;~5)

On a 161=16\dfrac{\dfrac{1}{6}}{1}=\dfrac{1}{6} et 765=730\dfrac{\dfrac{7}{6}}{5}=\dfrac{7}{30} donc BM→\overrightarrow{\text{BM}} et BC→\overrightarrow{\text{BC}} ne sont pas colinéaires.

👉 Conseil : puisque tu ne trouves pas le même nombre devant les deux coordonnées, tu n'as pas de coefficient de proportionnalité et les vecteurs ne sont pas colinéaires.

  1. KL→(514 ; −32)\overrightarrow{\text{KL}}(\dfrac{51}{4}~;~-\dfrac{3}{2}) et KM→(856 ; −53)\overrightarrow{\text{KM}}(\dfrac{85}{6}~;~-\dfrac{5}{3})

514 × −53−−32 × 856=−25512+25512=0\dfrac{51}{4}~\times~\dfrac{-5}{3}-\dfrac{-3}{2}~\times~\dfrac{85}{6}=-\dfrac{255}{12}+\dfrac{255}{12}=0

Par conséquent ces deux vecteurs sont colinéaires et les points K, L et M sont alignés.

👉 Conseil : le test du déterminant x1y2−y1x2x_1y_2-y_1x_2 qui vaut 00 est très pratique quand il y a des fractions.

Exercice 2

  1. ABECABEC est un parallélogramme.
    Par conséquent AB→=CE→\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CE}}

On note E(x ; y)E(x~;~y)

AB→(−2 ; 4)\overrightarrow{\text{AB}}(-2~;~4) et CE→(x+4 ; y+1)\overrightarrow{\text{CE}}(x+4~;~y+1)

AB→=CE→\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CE}} donc {x+4=−2y+1=4⇔{x=−6y=3\left\lbrace\begin{matrix}x+4=-2\\y+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=-6\\y=3\end{matrix}\right.

Donc E(−6 ; 3)E(-6~;~3).

👉 Conseil : dans un parallélogramme, tu peux utiliser directement l’égalité de vecteurs “côtés opposés”.

  1. On a AB→(−2 ; 4)\overrightarrow{\text{AB}}(-2~;~4) et DE→(−4 ; 8)\overrightarrow{\text{DE}}(-4~;~8)

Donc −2 × 8−4 × (−4)=−16+16=0.-2~\times~8-4~\times~(-4)=-16+16=0.

Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

👉 Conseil : si tu prouves que deux vecteurs directeurs sont colinéaires, tu as automatiquement le parallélisme.

  1. M est le milieu du segment [BC].

Donc xM=2+(−4)2=−1x_M=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1 et yM=2+(−1)2=12y_M=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}

Ainsi M(−1 ; 0,5)M(-1~;~0{,}5)

OA→(4 ; −2)\overrightarrow{\text{OA}}(4~;~-2) et OM→(−1 ; 0,5)\overrightarrow{\text{OM}}(-1~;~0{,}5)

4 × 0,5−(−2) × (−1)=2−2=0.4~\times~0{,}5-(-2)~\times~(-1)=2-2=0.

Ces vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les points A, O et M sont alignés

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