Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé (2)

Exercice 1

1. $\overrightarrow{\text{AK}}(-9~;~-\dfrac{3}{2})$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(6~;~1)$

On a $\dfrac{-9}{6}=-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{1}=-\dfrac{3}{2}$ donc $\overrightarrow{\text{AK}}=-\dfrac{3}{2}~\overrightarrow{\text{AC}}$.

👉 Conseil : pour montrer la colinéarité avec des coordonnées, compare les quotients $\dfrac{x_1}{x_2}$ et $\dfrac{y_1}{y_2}$ (quand c’est possible).

2. $\overrightarrow{\text{AL}}(\dfrac{15}{4}~;~-3)$ et $\overrightarrow{\text{AB}}(5~;~-4)$

On a $\dfrac{\dfrac{15}{4}}{5}=\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{-3}{-4}=\dfrac{3}{4}$ donc $\overrightarrow{\text{AL}}=\dfrac{3}{4}~\overrightarrow{\text{AB}}$.

👉 Conseil : garde les fractions sous forme $\dfrac{a}{b}$, tu évites des erreurs de calcul.

3. $\overrightarrow{\text{BM}}(\dfrac{1}{6}~;~\dfrac{5}{6})$ et $\overrightarrow{\text{BC}}(1~;~5)$

On a $\dfrac{\dfrac{1}{6}}{1}=\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{\dfrac{5}{6}}{5}=\dfrac{1}{6}$ donc $\overrightarrow{\text{BM}}=\dfrac{1}{6}~\overrightarrow{\text{BC}}$.

👉 Conseil : si tu trouves le même nombre devant les deux coordonnées, c’est exactement le coefficient de proportionnalité.

4. $\overrightarrow{\text{KL}}(\dfrac{51}{4}~;~-\dfrac{3}{2})$ et $\overrightarrow{\text{KM}}(\dfrac{85}{6}~;~-\dfrac{5}{3})$

$\dfrac{51}{4}~\times~\dfrac{-5}{3}-\dfrac{-3}{2}~\times~\dfrac{85}{6}=-\dfrac{255}{12}+\dfrac{255}{12}=0$

Par conséquent ces deux vecteurs sont colinéaires et les points K, L et M sont alignés.

👉 Conseil : le test du déterminant $x_1y_2-y_1x_2$ qui vaut $0$ est très pratique quand il y a des fractions.

Exercice 2

1. $ABEC$est un parallélogramme.
   Par conséquent $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CE}}$

On note $E(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AB}}(-2~;~4)$ et $\overrightarrow{\text{CE}}(x+4~;~y+1)$

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CE}}$ donc $\left\lbrace\begin{matrix}x+4=-2\\y+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=-6\\y=3\end{matrix}\right.$

Donc $E(-6~;~3)$.

👉 Conseil : dans un parallélogramme, tu peux utiliser directement l’égalité de vecteurs “côtés opposés”.

2. On a $\overrightarrow{\text{AB}}(-2~;~4)$ et $\overrightarrow{\text{DE}}(-4~;~8)$

Donc $-2~\times~8-4~\times~(-4)=-16+16=0.$

Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

👉 Conseil : si tu prouves que deux vecteurs directeurs sont colinéaires, tu as automatiquement le parallélisme.

3. M est le milieu du segment [BC].

Donc $x_M=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1$ et $y_M=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}$

Ainsi $M(-1~;~0{,}5)$

$\overrightarrow{\text{OA}}(4~;~-2)$ et $\overrightarrow{\text{OM}}(-1~;~0{,}5)$

$4~\times~0{,}5-(-2)~\times~(-1)=2-2=0.$

Ces vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les points A, O et M sont alignés