Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé et norme

On écrit souvent un vecteur à l'aide d'une seule lettre, par exemple : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ signifie :

I. Repère orthonormé et coordonnées d’un vecteur

Dans un repère du plan $(O\,;\,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ où les axes sont perpendiculaires et les unités identiques, on parle de repère orthonormé du plan.

Un vecteur peut être représenté par ses coordonnées $(x\,;\,y)$, ce qui signifie :

$\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$

Le vecteur $\overrightarrow{u} = (3\,;\,-2)$ indique un déplacement de $3$ unités vers la droite, puis $2$ vers le bas.

II. Norme d’un vecteur

⚠️ On ne peut parler de norme d'un vecteur qu'après avoir vérifié que le repère est orthonormé !

La norme (ou longueur) d’un vecteur $\overrightarrow{u} = (x\,;\,y)$ est donnée par :

$||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Elle correspond à la distance entre le point d’origine et son image après translation.

Elle se calcule en appliquant le théorème de Pythagore.

Exemple :

$\overrightarrow{u} = (3\,;\,4) \Rightarrow ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

III. Exercice

Exercice 1 :

En t'aidant du quadrillage de ton repère, donne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ si $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,6)$
Calculer sa norme.

Correction :

Coordonnées du vecteur :
$\overrightarrow{AB} = (5 - 2\,;\,6 - 1) = (3\,;\,5)$
Norme :

$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

Résumé à retenir

• Dans une base orthonormée, tout vecteur a des coordonnées $(x\,;\,y)$

• $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$

• La norme d’un vecteur de coordonnées $(x\,;\,y)$ est $\sqrt{x^2 + y^2}$