Utiliser les coordonnées pour manipuler des vecteurs

I. Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

Si les points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont dans le plan, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées :

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$. On écrit très régulièrement : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

👉 Cette seconde écriture est très efficace pour effectuer des calculs entre vecteurs.

Exemple :

$A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,6)$
$\overrightarrow{AB} = (4 - 1\,;\,6 - 2) = (3\,;\,4)$ ou encore $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

II. Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont égaux si et seulement si : $x = x'$ et $y = y'$

Cela signifie que les vecteurs ont :

• même direction

• même sens

• même norme

III. Somme de deux vecteurs

Soient $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$.

La somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ est le vecteur : $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}$

IV. Opposé d’un vecteur

L'opposé du vecteur $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est le vecteur $-\overrightarrow{u}$ défini par : $-\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

Ainsi, $\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

V. Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit $k$ un nombre réel et $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Le vecteur $k\overrightarrow{u}$ est défini par : $k\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$

Cas particuliers :

• Si $k > 0$, $k\overrightarrow{u}$ a le même sens que $\overrightarrow{u}$.

• Si $k < 0$, $k\overrightarrow{u}$ a le sens opposé.

• Si $k = 0$, $k\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$, c’est le vecteur nul.

Exemple :

$\overrightarrow{u} = (2\,;\,-1)$
Alors $3\overrightarrow{u} = (6\,;\,-3)$ et $-2\overrightarrow{u} = (-4\,;\,2)$

VI. Exercices d'application directe

Exercice 1 : Coordonnées d’un vecteur

On donne $A(2 ; -3)$ et $B(-1 ; 4)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Correction :
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 4 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$

Exercice 2 : Égalité de deux vecteurs

On donne $C(1 ; 2)$, $D(5 ; 4)$, $E(-2 ; -1)$ et $F(2 ; 1)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont-ils égaux ?

Correction :
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 4 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 2 - (-2) \\ 1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Donc $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}$ : les vecteurs sont égaux.

Exercice 3 : Somme et opposé

On donne $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.

1. Calculer $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$

2. Calculer l’opposé de $\overrightarrow{u}$

Correction :

1. $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 + (-2) \\ -5 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

2. $-\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Exercice 4 : Multiplication par un réel

Soit $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$.

1. Calculer $2\overrightarrow{w}$

2. Calculer $-0.5\overrightarrow{w}$

3. Interpréter géométriquement le résultat précédent.

Correction :

1. $2\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \end{pmatrix}$

2. $-0.5\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1.5 \end{pmatrix}$

3. Le vecteur $-0.5\overrightarrow{w}$ a la même direction que $\overrightarrow{w}$, une longueur divisée par 2, et un sens opposé.