Vecteurs colinéaires, alignement et déterminant

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que : $\overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{u}$

Cela signifie qu’ils ont la même direction, éventuellement un sens opposé.

Remarque : le vecteur $\overrightarrow 0$ est colinéaire à tout vecteur.

Exemple :

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{v} = 2 \cdot \overrightarrow{u}$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires

II. Déterminant de deux vecteurs

Dans une base orthonormée, si l’on considère deux vecteurs :

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$

Le déterminant de ces deux vecteurs est : $\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$

On écrit aussi (entre deux barres verticales) :

III. Critère de colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si : $\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0$

Cela signifie que les vecteurs sont sur la même droite (même direction), même si leur sens ou leur longueur diffèrent.

IV. Application à l’alignement

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

On vérifie donc l’alignement des points à l’aide du déterminant :

$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad A$, $B$ et $C$ sont alignés

V. Application au parallélisme

Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Ainsi, $(AB) \parallel (CD)$ si : $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$

VI. Exemples d'application

Exemple 1 :

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \begin{vmatrix}2 &4 \\ 3 & 6\end{vmatrix}=2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0$
Donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires

Exemple 2 :

Soit $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$ et $C(7\,;\,4)$
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix}3 &6 \\ 1 & 2\end{vmatrix}=3 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 6 - 6 = 0$
Donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés

Exemple 3 :

Soit $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$, $C(0\,;\,4)$, $D(4\,;\,6)$
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles

VII. Exercices corrigés

Exercice 1 :

Soit $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix}$
Les vecteurs sont-ils colinéaires ?

Correction :
$\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) =\begin{vmatrix}1 &2 \\ 5 & 10\end{vmatrix}= 1 \cdot 10 - 2 \cdot 5 = 10 - 10 = 0$
Donc oui, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires

Exercice 2 :

$A(0\,;\,0)$, $B(1\,;\,2)$, $C(3\,;\,6)$
Montrer que les points sont alignés

Correction :
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) =\begin{vmatrix}1 &3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}= 1 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 6 - 6 = 0$
Donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés

Exercice 3 :

Soit $E(1\,;_,2)$, $F(3\,;\,4)$ et $G(4\,;\,3)$
Les droites $(EF)$ et $(EG)$ sont-elles parallèles ?

Correction :
$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{EG} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}) =\begin{vmatrix}2 &3 \\ 2 & 1\end{vmatrix}=2 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

${\phantom{\det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EG}) }} = 2 - 6 = -4 \neq 0$
Donc les droites ne sont pas parallèles

Résumé à retenir

• Le déterminant de deux vecteurs $(x_1\,;\,y_1)$ et $(x_2\,;\,y_2)$ est $x_1 y_2 - x_2 y_1$

• Il permet de vérifier la colinéarité

• Trois points sont alignés si les vecteurs associés ont un déterminant nul

• Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires