Vecteurs colinéaires, alignement et déterminant - digiSchool
Vecteurs colinéaires, alignement et déterminant
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Tu vas découvrir comment utiliser le déterminant pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires. C’est un outil simple mais puissant pour repérer alignement et parallélisme dans un repère.
Mots-clés : déterminant, vecteurs, colinéarité, alignement, parallélisme
I. Colinéarité de deux vecteurs
Définition
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que : v=k⋅u
Cela signifie qu’ils ont la même direction, éventuellement un sens opposé.
Remarque : le vecteur 0 est colinéaire à tout vecteur.
Exemple :
u=(25) et v=(410) v=2⋅u donc u et v sont colinéaires
II. Déterminant de deux vecteurs
Dans une base orthonormée, si l’on considère deux vecteurs :
u=(x1y1) et v=(x2y2)
Le déterminant de ces deux vecteurs est : det(u,v)=x1y2−x2y1
On écrit aussi (entre deux barres verticales) :
III. Critère de colinéarité
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : det(u,v)=0
Cela signifie que les vecteurs sont sur la même droite (même direction), même si leur sens ou leur longueur diffèrent.
IV. Application à l’alignement
Trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
On vérifie donc l’alignement des points à l’aide du déterminant :
det(AB,AC)=0⇔A, B et C sont alignés
V. Application au parallélisme
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Ainsi, (AB)∥(CD) si : det(AB,CD)=0
VI. Exemples d'application
Exemple 1 :
u=(23) et v=(46) det(u,v)=2346=2⋅6−4⋅3=12−12=0 Donc u et v sont colinéaires
Exemple 2 :
Soit A(1;2), B(4;3) et C(7;4) AB=(31), AC=(62) det(AB,AC)=3162=3⋅2−6⋅1=6−6=0 Donc les points A, B et C sont alignés
Exemple 3 :
Soit A(1;1), B(5;3), C(0;4), D(4;6) AB=(42), CD=(42) det(AB,CD)=0 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles
VII. Exercices corrigés
Exercice 1 :
Soit u=(15) et v=(210) Les vecteurs sont-ils colinéaires ?
Correction : det(u,v)=15210=1⋅10−2⋅5=10−10=0 Donc oui, u et v sont colinéaires
Exercice 2 :
A(0;0), B(1;2), C(3;6) Montrer que les points sont alignés
Correction : AB=(12), AC=(36) det(AB,AC)=1236=1⋅6−3⋅2=6−6=0 Donc A, B et C sont alignés
Exercice 3 :
Soit E(1;,2), F(3;4) et G(4;3) Les droites (EF) et (EG) sont-elles parallèles ?