Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé (1)

Exercice 1

1. On note $M(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AM}}(x-5~;~y-2)$ et $\overrightarrow{\text{AB}}(8-5~;~1-2)$ soit $\overrightarrow{\text{AB}}(3~;~-1)$

On veut que $\overrightarrow{\text{AM}}=2~\overrightarrow{\text{AB}}$

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x-5=2\times3\\ y-2=2\times(-1) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x-5=6\\ y-2=-2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=11\\ y=0 \end{matrix}\right.$

Ainsi $M(11~;~0)$

👉 Conseil : commence toujours par écrire les coordonnées des vecteurs avant de traduire l’égalité vectorielle en système.

2. On note $N(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AN}}(x-5~;~y-2)$ et $\overrightarrow{\text{CN}}(x-4~;~y-5)$

On veut que $\overrightarrow{\text{AN}}=2~\overrightarrow{\text{CN}}$

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} x-5=2\times(x-4)\\ y-2=2\times(y-5) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x-5=2x-8\\ y-2=2y-10 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=3\\ y=8 \end{matrix}\right.$

Ainsi $N(3~;~8)$

👉 Conseil : fais bien attention aux parenthèses quand tu multiplies un vecteur par un nombre.

3. On note $P(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AP}}(x-5~;~y-2)$ et $\overrightarrow{\text{BP}}(x-8~;~y-1)$

On veut que $2~\overrightarrow{\text{AP}}+3~\overrightarrow{\text{BP}}=\overrightarrow{0}$

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} 2(x-5)+3(x-8)=0\\ 2(y-2)+3(y-1)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} 2x-10+3x-24=0\\ 2y-4+3y-3=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} 5x=34\\ 5y=7 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=\dfrac{34}{5}\\ y=\dfrac{7}{5} \end{matrix}\right.$

Ainsi $P\left(\dfrac{34}{5}~;~\dfrac{7}{5}\right)$

👉 Conseil : une égalité vectorielle avec $\overrightarrow{0}$ donne toujours deux équations scalaires indépendantes.

4. On note $R(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AR}}(x-5~;~y-2)$, $\overrightarrow{\text{BR}}(x-8~;~y-1)$ et $\overrightarrow{\text{CR}}(x-4~;~y-5)$

On veut que $\overrightarrow{\text{AR}}+2~\overrightarrow{\text{BR}}+3~\overrightarrow{\text{CR}}=\overrightarrow{0}$

Donc
$\left\lbrace\begin{matrix} (x-5)+2(x-8)+3(x-4)=0\\ (y-2)+2(y-1)+3(y-5)=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x-5+2x-16+3x-12=0\\ y-2+2y-2+3y-15=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} 6x=33\\ 6y=19 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=\dfrac{11}{2}\\ y=\dfrac{19}{6} \end{matrix}\right.$

Ainsi $R\left(\dfrac{11}{2}~;~\dfrac{19}{6}\right)$

👉 Conseil : regroupe les termes en $x$ et en $y$ séparément avant de simplifier, tu éviteras les erreurs de calcul.

Exercice 2

1. $\overrightarrow{\text{AB}}(-1~;~-2)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(-4~;~-8)$.
   On constate que $\overrightarrow{\text{AC}}=4~\overrightarrow{\text{AB}}$.
   Les vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les points A, B et C sont alignés.

👉 Conseil : pour prouver l’alignement de trois points, tu peux montrer que $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.

2. $\overrightarrow{\text{CD}}(7~;~9)$ et $\overrightarrow{\text{CE}}(5~;~\dfrac{20}{3})$

$7\times\dfrac{20}{3}-5\times9=\dfrac{5}{3}\neq0.$

Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Par conséquent les points C, D et E ne sont pas alignés.

👉 Conseil : avec deux vecteurs $(a~;~b)$ et $(c~;~d)$, teste la colinéarité avec $a\times d-b\times c$.

3. $\overrightarrow{\text{AD}}(3~;~1)$ et $\overrightarrow{\text{BE}}(2~;~\dfrac{2}{3})$

$3\times\dfrac{2}{3}-1\times2=2-2=0$ ou $\overrightarrow{\text{BE}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{AD}}$

Les vecteurs sont colinéaires. Par conséquent les droites (AD) et (BE) sont parallèles.

👉 Conseil : droites parallèles $\Leftrightarrow$ vecteurs directeurs colinéaires.

Exercice 3

1. M est le symétrique de A par rapport à B. Par conséquent B est le milieu de [AM].
   Ainsi $\overrightarrow{\text{MB}}=\overrightarrow{\text{BA}}$. On note $M(x~;~y)$
   $\overrightarrow{\text{MB}}(-1-x~;~4-y)$ et $\overrightarrow{\text{BA}}(-1~;~-3)$

Par conséquent
$\left\lbrace\begin{matrix} -1-x=-1\\ 4-y=-3 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=0\\ y=7 \end{matrix}\right.$

Donc $M(0~;~7)$

👉 Conseil : “symétrique de A par rapport à B” signifie que $B$ est le milieu du segment, donc tu traduis directement par une égalité de vecteurs.

N est le symétrique de A par rapport à C. Par conséquent C est le milieu de [AN]
Ainsi $\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{\text{CA}}$. On note $N(x~;~y)$
$\overrightarrow{\text{NC}}(2-x~;~3-y)$ et $\overrightarrow{\text{CA}}(-4~;~-2)$

Par conséquent
$\left\lbrace\begin{matrix} 2-x=-4\\ 3-y=-2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=6\\ y=5 \end{matrix}\right.$

Donc $N(6~;~5)$

👉 Conseil : quand tu écris $\overrightarrow{\text{NC}}(2-x~;~3-y)$, tu fais bien “arrivée - départ” (coordonnées de $C$ moins coordonnées de $N$).

a. On note $P(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AP}}(x+2~;~y-1)$ et $\overrightarrow{\text{AB}}(1~;~3)$

On sait que $\overrightarrow{\text{AP}}=-3~\overrightarrow{\text{AB}}$.

Par conséquent :
$\left\lbrace\begin{matrix} x+2=-3\\ y-1=-9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=-5\\ y=-8 \end{matrix}\right.$
donc $P(-5~;~-8)$

On note $Q(x~;~y)$

$\overrightarrow{\text{AQ}}(x+2~;~y-1)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(4~;~2)$

On sait que $\overrightarrow{\text{AQ}}=-3~\overrightarrow{\text{AC}}$.

Par conséquent :
$\left\lbrace\begin{matrix} x+2=-12\\ y-1=-6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=-14\\ y=-5 \end{matrix}\right.$
donc $Q(-14~;~-5)$

b. $\overrightarrow{\text{MN}}(6~;~-2)$ et $\overrightarrow{\text{PQ}}(-9~;~3)$

$6\times3-(-2)\times(-9)=18-18=0$

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{PQ}}$ sont colinéaires.

Par conséquent les droites $(MN)$ et $(PQ)$ sont parallèles.