Complexes et algorithme

• Pour mettre sous forme exponentielle un nombre complexe $z=a+i b$, on calcule $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et on met $|z|$ en facteur dans l'expression de $z$. On espère ensuite reconnaître des valeurs remarquables de cos et sin :
  On a $\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$.
  Ainsi, $\boxed{\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}$.

• a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $r_{n+1}=|z_{n+1}|=\left|\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z_n\right|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right||z_n|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times r_n$ d'après la question précédente, donc la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

• b) Ainsi, $\forall n\in\mathbb{N},\ r_n=r_0\times\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\text{ soit }\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ r_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n}$.

• c) $OA_n=r_n$, comme $0<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$, on a $\boxed{\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}OA_n=0}$.

• a) Pour $P=0,5$, l'algorithme affiche la valeur $\boxed{n=5}$ (et on a $R=\dfrac{9\sqrt{3}}{32}$)

3. b) L'algorithme modifie à chaque passage dans la boucle la valeur de $R$ de la même manière que la suite $(r_n)$ donc au $k$-ième passage dans la boucle, $R$ a pour valeur $r_k$.
   L'algorithme s'arrête si $R$ devient inférieur à $P$ donc le rôle de cet algorithme est de donner la première valeur de $n$ pour laquelle $r_n\leq P$, c'est-à-dire $A_n$ est dans le disque de centre $O$ et de rayon $P$.

4. a) Première démonstration réalisée à l'aide de la notion d'argument :
   Montrons que l'angle $(\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}})$ a pour mesure $\pm \dfrac{\pi}{2}$.
   On a $(\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}})=Arg\left(\dfrac{0-z_{n+1}}{z_n-z_{n+1}}\right)$
   Or
   $\begin{array}{rcl} z_n-z_{n+1}&=&-(z_{n+1}-z_n)\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{z_n}{z_{n+1}}\right)\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi}{6}}}\right)\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\ e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)\\ &=&-z_{n+1}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\right)\\ &=&-z_{n+1}\times i\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$
   et donc $(\widehat{\overrightarrow{A_{n+1}A_n},\overrightarrow{A_{n+1}O}})=Arg\left(\dfrac{-z_{n+1}}{-z_{n+1}\times i\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)=-\dfrac{\pi}{2}$.
   Ainsi, le triangle $OA_{n+1}A_n$ est rectangle en $A_{n+1}$.

Seconde démonstration utilisant la réciproque du théorème de Pythagore :
$OA_n=r_n\text{ donc } OA_n^2=r_n^2\qquad OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_n \text{ donc } OA_{n+1}^2=\dfrac{{3}}{4}r_n^2$
$A_nA_{n+1}=\left|\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4},\text{i}\right)z_n-z_n\right|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4},\text{i}-1\right||z_n|=\left|-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4},\text{i}\right|r_n=\dfrac{1}{2}r_n\text{ donc }A_nA_{n+1}^2=\dfrac{1}{4}r_n^2$
Or $OA_{n+1}^2+A_nA_{n+1}^2=\dfrac{{3}}{4}r_n^2+\dfrac{1}{4}r_n^2=r_n^2=OA_n^2$
Le triangle $OA_nA_{n+1}$ est donc rectangle en $A_{n+1}$

4. b) Première démonstration utilisant la notion de modulo :
   $A_n$ est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si $z_n$ est imaginaire pur, c'est-à-dire que son argument vaut $\pm\dfrac{\pi}{2}$. Or $Arg(z)=\dfrac{n\pi}{6}\equiv\dfrac{\pi}{2}\ \text{mod}\ \pi\ \Longleftrightarrow\boxed{n\equiv 3\ \text{mod}\ 6}$.

Voici maintenant une seconde démonstration n'utilisant pas la notion de modulo :
$A_n$ est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si $z_n$ est imaginaire pur si et seulement si $n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \text{ avec }k \in \mathbb{Z}$ si et seulement si $n=3+6k~,~k\in\mathbb{Z}$ mais $n$ étant un entier naturel, on obtient $k \in \mathbb{N}$ soit $n=3+6k~,~k\in \mathbb{N}$

4. c) Le même raisonnement qu'à la question précédente montre que $Arg(z_{n+6})\equiv Arg(z_{k})+\pi\ \text{mod}\ 2\pi$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ donc $z_{6}$ est sur la droite $OA_0$. De plus, le triangle $OA_6A_5$ est rectangle en $A_6$ donc $A_6$ appartient au cercle de diamètre $OA_5$, et donc $A_6$ est déterminé. On procède de même pour les autres points :