Représentation graphique d'un nombre complexe : le module

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Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(0\;; \vec u \;,\vec v)$

I. Définition du module

Soit $M$ un point d’affixe $z$.

Le module de $z$, noté $|z|$, est le réel positif défini par : $|z| = OM$.

Si $z = a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux réels, alors : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Exemple :

Soit $z = 2 + \mathcal{i}$.

On calcule son module :

$|z| = \sqrt{2^2 + 1^2}$
$= \sqrt{4 + 1}$
$= \sqrt{5}$.

II. Propriétés du module

Propriétés : Soit $z$ un nombre complexe.

$\circ\quad$ $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

$\circ\quad$ $| -z | = |z|$.

$\circ\quad$ $|\overline{z}| = |z|$.

$\circ\quad$ $z \times \overline{z} = |z|^2$.

III. Module et opérations

Théorème :

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes :

$\circ\quad$ $|z \times z'| = |z| \times |z'|$.

$\circ\quad$ Pour tout entier naturel $n$, $|z^n| = |z|^n$.

$\circ\quad$ Si $z \neq 0$, alors $\left| \dfrac{1}{z} \right| = \dfrac{1}{|z|}$ et $\left| \dfrac{z'}{z} \right| = \dfrac{|z'|}{|z|}$.

$\circ\quad$ $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.

IV. Lien entre distance et module

Théorème : Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$.

On a : $AB = |z_B - z_A| = |z_A - z_B|$.

Exemple : Soient $A(2+3\text i)$ et $B(-1-4\text i)$. Calculer la distance $AB$.

$AB=|z_B-z_A|$

or $z_B-z_A=(-1-4\text i)-(2+3\text i)=-3-7\text i$

et $|z_B-z_A|=|-3-7\text i|=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}$