L'ensembles des nombres complexes : définitions et opérations

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I. Définitions et généralités

Théorème : Il existe un ensemble, noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes ayant comme propriétés :

$\circ\quad$ $\mathbb{C}$ contient l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

$\circ\quad$ Il existe un élément de $\mathbb{C}$, noté $\mathcal{i}$, tel que $\mathcal{i}^2 = -1$.

$\circ\quad$ $\mathbb{C}$ est muni d’une addition et d’une multiplication qui ont les mêmes propriétés et qui prolongent celles de $\mathbb{R}$.

Exemple : Les nombres $3$, $5$ et $\mathcal{i}$ appartiennent à $\mathbb{C}$. Les nombres $3 + \mathcal{i}$ et $5\mathcal{i}$ appartiennent à $\mathbb{C}$.

Propriété : Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s’écrit de manière unique sous la forme $a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux réels. Cette écriture s’appelle la forme algébrique de $z$.

$\circ\quad$ $a$ est la partie réelle de $z$. On note $a = \operatorname{Re}(z)$.

$\circ\quad$ $b$ est la partie imaginaire de $z$. On note $b = \operatorname{Im}(z)$.

Remarques :

$\circ\quad$ L’ensemble des nombres complexes peut se définir de la manière suivante :
$\mathbb{C} = { z = a + \mathcal{i}b \mid (a, b) \in \mathbb{R}^2 \text{ tel que } \mathcal{i}^2 = -1 }$

$\circ\quad$ Soit $z \in \mathbb{C}$, alors $\operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}$ et $\operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}$.

$\circ\quad$ Si $a = 0$ (c'est-à-dire $\operatorname{Re}(z) = 0$), alors $z = \mathcal{i}b$. On dit que $z$ est un imaginaire pur. L’ensemble des nombres imaginaires purs est noté $\mathcal{i}\mathbb{R}$.

$\circ\quad$ Si $b = 0$ (c'est-à-dire $\operatorname{Im}(z) = 0$), alors $z = a$. Ainsi, $z \in \mathbb{R}$.

Exemples :

$\circ\quad$ Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $z = 4 - 2\mathcal{i}$. Alors $\operatorname{Re}(z) = 4$ et $\operatorname{Im}(z) = -2$.

$\circ\quad$ Soit $z' \in \mathbb{C}$ tel que $z' = 3\mathcal{i}$. Alors $\operatorname{Re}(z') = 0$ et $\operatorname{Im}(z') = 3$. Ainsi, $z' \in \mathcal{i}\mathbb{R}$.

II. Égalité dans $\mathbb{C}$

Théorème : Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z = a + \mathcal{i}b$ et $z' = a' + \mathcal{i}b'$.

$z = z'\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}a = a'\\ b = b' \end{matrix}\right.$

Remarque : Ce théorème assure l’unicité de l’écriture d’un nombre complexe sous forme algébrique.

III. Opérations dans $\mathbb{C}$

Propriété : Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z = a + \mathcal{i}b$ et $z' = a' + \mathcal{i}b'$ avec $a, b, a', b'$ des nombres réels.

$\circ\quad$ $z + z' = (a + a') + \mathcal{i}(b + b')$

$\circ\quad$ $z \times z' = (aa' - bb') + \mathcal{i}(ab' + a'b)$

Définition : Pour tout nombre complexe $z$, il existe un unique nombre complexe $z'$ tel que $z + z' = 0$.

$z'$ est appelé opposé de $z$ et on le note $-z$. Si $z = a + \mathcal{i}b$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels, alors :
$-z = (-a) + \mathcal{i}(-b)$.

Exemple : Si $z = 2 - 7\mathcal{i}$, alors $-z = -2 + 7\mathcal{i}$.

Définition : Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z = a + \mathcal{i}b$ et $z' = a' + \mathcal{i}b'$ avec $a, b, a', b'$ des nombres réels.

Alors $z - z'$ est défini par $z + (-z')$ et on a :
$z - z' = (a - a') + \mathcal{i}(b - b')$.

Exemple : Si $z = 2 + 3\mathcal{i}$ et $z' = -4 + 2\mathcal{i}$, alors :
$z - z' = (2 - (-4)) + (3 - 2)\mathcal{i} = 6 + \mathcal{i}$.

IV- Un exercice d'application

On donne $z = 2 + 3i$ et $z' = 4 - 5i$. Calculer $z + z'$, $z \times z'$, l'inverse de $z$ ainsi que $\dfrac{z}{z'}$ .

Solution de l'exercice : On donne $z = 2 + 3i$ et $z' = 4 - 5i$.

Somme :
$\begin{aligned}z + z' & = (2 + 3i) + (4 - 5i) \\ & = (2 + 4) + i(3 - 5) \\ & = 6 - 2i\end{aligned}$

Produit :

$\begin{aligned}z \times z' & = (2 + 3i)(4 - 5i) \\ & = 2 \times 4 + 2 \times (-5i) + 3i \times 4 + 3i \times (-5i) \\ & = 8 - 10i + 12i - 15i^2 \\ & = 8 + 2i - 15(-1) \\ & = 8 + 2i + 15 \\ & = 23 + 2i\end{aligned}$

Rappelons que $i^2 = -1$.

Inverse de $z$ :
L'inverse de $z = 2 + 3i$ est donné par :
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$, où $\overline{z} = 2 - 3i$ et $|z|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
Ainsi :

$\begin{aligned}\dfrac{1}{z} & = \dfrac{2 - 3i}{13} \\ & = \dfrac{2}{13} - i\dfrac{3}{13}\end{aligned}$

Quotient $\dfrac{z}{z'}$ :
Le quotient est donné par :
$\dfrac{z}{z'} = \dfrac{z \times \overline{z'}}{z' \times \overline{z'}}$, où $\overline{z'} = 4 + 5i$ Ainsi :

$\begin{aligned} \dfrac{z}{z'} & = \dfrac{-7 + 22i}{41} \\ & = -\dfrac{7}{41} + i\dfrac{22}{41}\end{aligned}$

Produit $z \times \overline{z'}$ :

$\begin{aligned}z \times \overline{z'} & = (2 + 3i)(4 + 5i) \\ & = 2 \times 4 + 2 \times 5i + 3i \times 4 + 3i \times 5i \\ & = 8 + 10i + 12i + 15i^2 \\ & = 8 + 22i - 15 \\ & = -7 + 22i\end{aligned}$

Résumé des résultats :

$z + z' = 6 - 2i$

$z \times z' = 23 + 2i$

$\dfrac{1}{z} = \dfrac{2}{13} - i\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{z}{z'} = -\dfrac{7}{41} + i\dfrac{22}{41}$