Exercice complet pour réinvestir tout le programme sur les nombres complexes

1. Pour tout nombre complexe $z$ on pose : $P(z)=z^3-(2+4\text i)z^2-(2-8\text i)z+4-12\text i$ .

   1. a) Nous devons calculer les racines carrées du nombre complexe $-8+6\text i$ .

Nous obtenons :

$z=-8+6\text i$
$=1+6\text i -9$
$=1+2\times1\times3\text i +(3\text i)^2$
$=(1+3\text i)^2$

D'où les racines carrées du nombre complexe $-8+6\text i$ sont $1+3\text i$ et $-1-3\text i$ .

1. b) Nous devons résoudre, dans $\mathbb C$, l'équation $z^2-(3+\text i)z+4=0$ .

Calculons le discriminant de l'équation

$\Delta=[-(3+\text i)]^2-4\times 1\times 4$
$=(3+\text i)^2-16$
$=9+6\text i -1-16$
$=-8+6\text i$
$=(1+3\text i)^2 \qquad(\text{voir question 1)}$

Calculons les racines de l'équation

$z_1=\dfrac{3+\text i-1-3\text i}{2}=\dfrac{2-2\text i}{2}=\dfrac{2(1-\text i)}{2}=1-\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_1=1-\text i}$

$z_2=\dfrac{3+\text i+1+3\text i}{2}=\dfrac{4+4\text i}{2}=\dfrac{2(2+2\text i)}{2}=2+2\text i\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_2=2+2\text i}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est $\boxed{S=\lbrace 1-\text i\;;\;2+2\text i\rbrace}$

1. c) Nous devons déterminer le nombre complexe $z_0$ tel que $\forall z\in\mathbb C,\;P(z)=(z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4)$ .

Nous obtenons :

$(z-z_0)(z^2-(3+\text i)z+4)=z^3-(3+\text i)z^2+4z-z_0z^2+z_0(3+\text i)z-4z_0$
$=z^3-(3+\text i+z_0)z^2+[4+z_0(3+\text i)]z-4z_0$

$\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(z)=z^3-(3+\text i+z_0)z^2+[4+z_0(3+\text i)]z-4z_0}$

Dès lors, par identification des coefficients entre les deux expressions de $P(z)$, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}-(3+\text i+z_0)=-(2+4\text i)\\4+z_0(3+\text i)=-(2-8\text i)\\-4z_0=4-12\text i\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}3+\text i+z_0=2+4\text i\\4+3z_0+\text iz_0=-2+8\text i\\\textcolor{red}{z_0=-1+3\text i}\end{matrix}\right.$

$\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}3+\text i-1+3\text i=2+4\text i\\4+3(-1+3\text i)+\text i(-1+3\text i)=-2+8\text i\\\textcolor{red}{z_0=-1+3\text i}\end{matrix}\right.$

$\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}2+4\text i=2+4\text i\\-2+8\text i=-2+8\text i\\\textcolor{red}{z_0=-1+3\text i}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, $\boxed{ z_0=-1+3\text i }$ et $\boxed{\forall z\in\mathbb C,\;P(z)=(z+1-3\text i)(z^2-(3+\text i)z+4) }$

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow u,\overrightarrow v)$ .

Nous devons placer les points $A,\,B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1-\text i,\, z_B=2+2\text i$ et $z_C=-1+3\text i$ .

3. Pour tout nombre complexe $z\neq1-\text i$, on pose : $f(z)=\dfrac{z+1-3\text i}{z-1+\text i}$ .

   3. a) Nous devons vérifier que $f(z_B)=-\text i$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ .

Montrons que $f(z_B)=-\text i$ .

$f(z_B)=\dfrac{z_B+1-3\text i}{z_B-1+\text i}$
$=\dfrac{2+2\text i+1-3\text i}{2+2\text i-1+\text i}$
$=\dfrac{3-\text i}{1+3\text i}$
$=\dfrac{(3-\text i)(1-3\text i)}{(1+3\text i)(1-3\text i)}$
$=\dfrac{3-9\text i-\text i-3}{1+9}$
$=\dfrac{-10\text i}{10}$
$=-\text i$

$\Longrightarrow\quad \boxed{ f(z_B)=-\text i}$

Déterminons la nature du triangle $ABC$ .

Nous observons que $\left\lbrace\begin{matrix}f(z)=\dfrac{z+1-3\text i}{z-1+\text i}\\z_C=-1+3\text i\\z_A=1-\text i\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(z_B)=\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}}$ .

Dès lors,

$f(z_B)=-\text i\quad\Longrightarrow\quad |f(z_B)|=1$
$\quad\Longrightarrow\quad \left|\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}\right|=1$
$\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{|z_B-z_C|}{|z_B-z_A|}=1$
$\quad\Longrightarrow\quad |z_B-z_C|=|z_B-z_A|$
$\quad\Longrightarrow\quad \boxed{CB=AB}$

Nous en déduisons d'une part que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ .

De plus,

$f(z_B)=-\text i\quad\Longrightarrow\quad \arg(f(z_B))\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$
$\quad\Longrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}_;[2\pi]$
$\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\Big)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]}$

Nous en déduisons que l'angle en $B$ est un angle droit.

Par conséquent, le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $B$ .

3. b) Nous devons déterminer et construire l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit imaginaire pur.

$f(z)$ est imaginaire pur si et seulement si $\arg(f(z))\equiv \dfrac{\pi}{2}\;[\pi]$

$\text {Or }\quad\arg(f(z))\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]$
$\quad\Longrightarrow\quad\arg\left(\dfrac{z-z_C}{z-z_A}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]$
$\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Big(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{CM}\Big)\equiv-\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}$

Nous en déduisons que l'ensemble cherché est l'ensemble des points $M$ tels que le triangle $AMC$ soit rectangle en $M$ .

Dès lors, l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit imaginaire pur est le cercle de diamètre $[AC]$ privé du point $A$ (pour que le dénominateur de $f(z)$ soit non nul)

Construisons ce cercle.

Le diamètre est le segment $[AC]$ .
Le centre de ce cercle est $\Omega$, milieu de $[AC]$ .
Donc l'affixe de $\Omega$ est $z_\Omega=\dfrac{z_A+z_C}{2}$

$z_\Omega=\dfrac{z_A+z_C}{2}$
$=\dfrac{1-\text i-1+3\text i}{2}$
$=\dfrac{2\text i}{2}$
$=\text{i}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{z_\Omega=\text i}$

D'où la construction du cercle.

4. Pour tout entier $n\in\mathbb N^*$, on pose : $z_n=(z_A)^n$ et soit $M_n$ le point d'affixe $z_n$ .

   4. a) Nous devons déterminer les entiers $n\in\mathbb N^*$ pour lesquels le point $M_n$ appartient à l'axe des abscisses, c'est-à-dire les entiers $n$ pour lesquels $z_n$ est un nombre réel.

Déterminons une expression de $z_n$ .

Écrivons $z_A$ sous forme exponentielle.

$z_A= 1-\text i$
$= \sqrt 2\left( \dfrac{1}{\sqrt 2}- \dfrac{1}{\sqrt 2},\text i\right)$
$= \sqrt 2\left( \dfrac{\sqrt 2}{2}- \dfrac{\sqrt 2}{2},\text i\right)$
$= \sqrt 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

$\Longrightarrow\quad\boxed{z_A=\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}}$

Donnons une écriture de $z_n$ .

$z_n=(z_A)^n$
$=\left(\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}\right)^n$
$=\left(\sqrt 2\right)^n\,\text e^{-\text i\frac {n\pi} {4}}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{z_n=\left(\sqrt 2\right)^n\,\text e^{-\text i\frac {n\pi} {4}}}$

Dès lors, $z_n$ est un nombre réel si et seulement si $\arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\mathbb Z)$ .

$\text {Or }\quad \arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\mathbb Z)\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac {n\pi} {4}=k\pi\quad(k\in\mathbb Z)$
$\quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac {n} {4}=k\quad(k\in\mathbb Z)$
$\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{n=-4k}\quad(k\in\mathbb Z)$

L'énoncé précise que $n\in\mathbb N^*$ .

Donc les entiers $n\in\mathbb N^*$ pour lesquels le point $M_n$ appartient à l'axe des abscisses sont les entiers $n$ multiples de 4 de la forme $n=4q\quad (q\in\mathbb N^)$ .

4. b) Nous devons montrer que le point $M_{2025}$ appartient à la droite $(OA)$ .

Comparons $\arg(z_a)$ et $\arg(z_{2025})$ .

$z_A=\sqrt 2\,\text e^{-\text i\frac \pi 4}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\arg(z_A)\equiv-\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]}$ .

Déterminons $\arg(z_{2025})$ .

$\arg(z_{2025})=\arg\left((z_A)^{2025}\right)$
$\equiv2025\times \arg(z_A)\;[2\pi]$
$\equiv2025\times \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\;[2\pi]$
$\equiv-\dfrac{2025\pi}{4}\;[2\pi]$
$\equiv-\dfrac{(8\times253+1)\pi}{4}\;[2\pi]$
$\equiv-\left(\dfrac{253\times8\pi}{4}+\dfrac\pi 4\right)\;[2\pi]$
$\equiv-\left(253\times2\pi+\dfrac\pi 4\right)\;[2\pi]$
$\equiv-\dfrac\pi 4\;[2\pi]$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\arg(z_{2025})\equiv-\dfrac\pi 4\;[2\pi] }$

Nous en déduisons que $\arg(z_A)=\arg(z_{2025})$

Par conséquent, les points $O,,M_{2025}$ et $A$ appartiennent à la même demi-droite d'origine $O$ .
Dès lors, le point $M_{2025}$ appartient à la droite $(OA)$ .