Arguments d'un complexe non nul

Exercice 1

Tous les points ci-dessus sont sur le cercle (C) de centre O et de rayon 3 donc les affixes de ces points ont tous pour module 3.

Comme $ABCDEF$ est un hexagone régulier, on a $(\widehat{AOB})=(\widehat{BOC})=(\widehat{COD})=(\widehat{DOE})=(\widehat{EOF})=\dfrac{\pi}{3}$.

On déduit le tableau des arguments, en radians, appartenant à $]-\pi;\pi]$ :

Exercice 2

$z_1$ désigne un nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$

$z_2$ désigne un nombre complexe de module 4 et d'argument $\dfrac{-\pi}{6}$.

$\checkmark\quad$ Module et argument de $z_1z_2$

$|z_1z_2|=|z_1|\times|z_2|=2\times4=8$

$\text{arg}(z_1z_2)=\text{arg}(z_1)+\text{arg}(z_2)\ \ ( \text{à }2\pi \text{ près}) \\ \text{arg}(z_1z_2)=\dfrac{2\pi}{3}+\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) \\ \text{arg}(z_1z_2)=\dfrac{4\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6} \\ \text{arg}(z_1z_2)=\dfrac{3\pi}{6} \\ \text{arg}(z_1z_2)=\dfrac{\pi}{2}$

$\checkmark\quad$Module et argument de $\dfrac{z_1}{z_2}$

$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$\text{arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\text{arg}(z_1)-\text{arg}(z_2)\ \ (\text{à }2\pi \text{ près}) \\ \text{arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}-\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) \\ \text{arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\dfrac{4\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6} \\ \text{arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\dfrac{5\pi}{6}$

$\checkmark\quad$ Module et argument de $z_1^2$

$|z_1^2|=|z_1|^2=2^2=4$

$\text{arg}(z_1^2)=2\times \text{arg}(z_1)\ \ (\text{à }2\pi \text{ près}) \\ \text{arg}(z_1^2)=2\times \dfrac{2\pi}{3} \\ \text{arg}(z_1^2)=\dfrac{4\pi}{3}$

$\checkmark\quad$ Module et argument de $\overline{z_2}$

$|\overline{z_2}|=|z_2|=4$

$\text{arg}(\overline{z_2})=-\text{arg}(z_2)\ \ (\text{à }2\pi \text{ près}) \\ \text{arg}(\overline{z_2})=-\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) \\ \text{arg}(\overline{z_2})=\dfrac{\pi}{6}$

Exercice 3

1) $Z$ imaginaire pur équivaut à $\Big(Z=0 \ \ \text{ou}\ \ \text{arg}(Z)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

Donc $\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(z=-1\ \ \text{ou}\ \ \text{arg}\left(\dfrac{z+1}{z-i}\right)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

En appelant M le point d'affixe $z$, et A et B les points d'affixes respectives $i$ et $-1$, on obtient alors :

$\dfrac{z+1}{z-i}\in i\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(M=B\ \ \text{ou}\ \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\Big)$

Donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé de A.

2) De même, $Z$ réel équivaut à $\Big(Z=0 \ \ \text{ou}\ \ \text{arg}(Z)=0\ [\pi]\Big)$

Donc $\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(z=-1\ \ \text{ou}\ \ \text{arg}\left(\dfrac{z+1}{z-i}\right)=0\ [\pi]\Big)$

D'où $\dfrac{z+1}{z-i}\in\mathbb{R}\ \Longleftrightarrow\ \Big(M=B\ \ \text{ou}\ \ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=0\ [\pi]\Big)$

On obtient la droite (AB) privée de A.

Autre méthode (parfois imposée par l’énoncé, à savoir mener, mais calculatoire)

On pose $Z=\dfrac{z+1}{z-i}$ avec $z=x+\text i y$, $x$ et $y$ réels et $z\neq i$.

On calcule $Z$ en remplaçant $z$ par $x+\text i y$ et on multiplie dénominateur et numérateur par le conjugué du dénominateur :

$Z=\dfrac{(x+1)+\text i y}{x+\text i(y-1)}=\dfrac{[(x+1)+\text i y]\times [x-\text i(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}$

$=\dfrac{x(x+1)+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}+\text i\dfrac{xy-(x+1)(y-1)}{x^2+(y-1)^2}$

$Z=\dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}+\text i\dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}$

$\checkmark\quad$ $Z$ est imaginaire pur $\iff \Re(Z)=0 \iff \dfrac{x^2+x+y^2-y}{x^2+(y-1)^2}=0$

$Z$ imaginaire pur $\iff x^2+x+y^2-y=0 \ \ \text{avec}\ \ x^2+(y-1)^2\neq 0$

$Z$ imaginaire pur $\iff (x+\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}+(y-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}=0\ \ \text{avec}\ (x;y)\neq(0;1)$

$Z$ imaginaire pur $\iff (x+\tfrac{1}{2})^2+(y-\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{1}{2}\ \ \text{avec}\ (x;y)\neq(0;1)$

On vérifie que le point $(0;1)$ est susceptible d'appartenir à ce cercle, et on peut conclure :

$Z$ imaginaire pur $\iff M(z)$ appartient au cercle de centre $\Omega\left(-\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}\right)$ et de rayon $\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, privé du point $A$ d’affixe $i$.

$\checkmark\quad$ $Z$ est un réel $\iff \Im(Z)=0 \iff \dfrac{x-y+1}{x^2+(y-1)^2}=0\ \ \text{avec}\ (x;y)\neq(0;1)$

Donc $Z$ réel $\iff x-y+1=0 \ \ \text{avec}\ (x;y)\neq(0;1)$

On vérifie que le point $(0;1)$ est susceptible d’appartenir à cette droite, et on peut conclure :

$Z$ est un réel $\iff M(z)$ appartient à la droite $(d)$ d’équation $x-y+1=0$, privé du point $A$ d’affixe $i$.