Encore des équations dans C

Exercice 1

Soit $(E)\: :az^2+bz+c=0$ cette équation à coefficients $a$, $b$ et $c$ réels.

On considère un polynôme du second degré à coefficients réels $P(z)=az^2+bz+c$ avec $a,b,c\in\mathbb R$ et $a\neq0$. Supposons que $P$ admette une solution $z_0$.

$z_0$ solution de $(E)\iff P(z_0)=0$

$\iff az_0^2+bz_0+c=0$

Deux complexes sont égaux ssi leurs conjugués sont égaux.

$\iff \overline{az_0^2+bz_0+c}=\overline 0$

$\iff \overline{az_0^2}+\overline {bz_0}+\overline c=\overline 0$ (le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués)

$\iff \overline{ a} \overline{ z_0^2}+ \overline{ b} \overline{ z_0}+ \overline{ c}= \overline{ 0}$ (car le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués)

$\iff \overline{a } \;\overline{z_0 }^2+ \overline{b } \overline{z_0 }+ \overline{ c}= \overline{ 0}$ (car le conjugué du produit $z_0^2$est égal au produit des conjugués)

$\iff a\overline{z_0 }^2+b\overline{z_0}+c=0$ (car $a$, $b$ et $c$ sont réels)

$\iff \overline{z_0}$ solution de $az^2+bz+c=0$

Comme $P$ est de degré $2$, les seules racines possibles sont ces deux-là , qui sont conjuguées l’une de l’autre.

👉 Conseil : dès que les coefficients sont réels et qu’une racine complexe apparaît, pense à "conjuguer" l’égalité $P(\alpha)=0$ pour montrer que $\overline{\alpha}$ annule aussi $P$.

Exercice 2

1. Recherche d’une solution imaginaire pure

On cherche une solution de la forme $z = \text i y$ avec $y \in \mathbb R$.

On remplace dans l’équation :
$(\text i y)^3 + (2 - 2\text i)(\text i y)^2 + (2 - 4\text i)(\text i y) - 4\text i = 0$

On calcule :
$\text i^3 = -\text i$, $\text i^2 = -1$, donc :
$-\text i y^3 + (2 - 2\text i)(-y^2) + (2 - 4\text i)(\text i y) - 4\text i = 0$

Développons :
$-\text i y^3 - 2y^2 + 2\text i y^2 + 2\text i y - 4\text i^2 y - 4\text i = 0$

Or $\text i^2 = -1$, donc $-4\text i^2 y = +4y$.

On sépare les parties réelles et imaginaires :

• Partie réelle : $-2y^2 + 4y$

• Partie imaginaire : $-!y^3 + 2y^2 + 2y - 4$

Pour que $z = \text i y$ soit solution, il faut que les deux parties soient nulles :
$\left\lbrace\begin{matrix}-2y^2 + 4y = 0\\-y^3 + 2y^2 + 2y - 4 = 0\end{matrix}\right.$

De la première équation : $-2y(y - 2) = 0$ donc $y = 0$ ou $y = 2$.

• Si $y = 0$, la seconde donne $-4 \neq 0$ → pas solution.
• Si $y = 2$, la seconde donne $-8 + 8 + 4 - 4 = 0$ → ok.

Donc $z_1 = 2\text i$ est une solution imaginaire pure.

2. Par identification,

On sait d’abord que $z_1=2\text i$ est solution imaginaire pure. On cherche donc une factorisation de la forme $(z-2\text i)(z^2+\alpha z+\beta)$, avec $\alpha,\beta\in\mathbb C$.

On développe $(z-2\text i)(z^2+\alpha z+\beta)=z^3+(\alpha-2\text i)z^2+(\beta-2\text i\,\alpha)z-2\text i\,\beta$.

On identifie avec le polynôme $z^3+(2-2\text i)z^2+(2-4\text i)z-4\text i$ :

• coefficient de $z^2$ : $\alpha-2\text i=2-2\text i$ donc $\alpha=2$ ;

• coefficient de $z$ : $\beta-2\text i,\alpha=2-4\text i$. Avec $\alpha=2$, on a $\beta-4\text i=2-4\text i$ donc $\beta=2$ ;

• terme constant : $-2\text i,\beta=-4\text i$ confirme $\beta=2$.

Ainsi, la factorisation cherchée est $(z-2\text i)(z^2+2z+2)$.

3. On résout alors $(E)$ en deux temps :

• $z-2\text i=0$ donne $z=2\text i$ ;

• $z^2+2z+2=0$ donne $z=\dfrac{-2\pm\text i \sqrt{|4-8|}}{2}=\dfrac{-2\pm\text i\sqrt{|-4|}}{2}=\dfrac{-2\pm2\text i}{2}=-1\pm\text i$.

Solutions de $(E)$ : $z=2\text i$, $z=-1+\text i$, $z=-1-\text i$.

👉 Conseil méthode : quand tu connais une racine, écris le polynôme comme $(z-z_0)(z^2+\alpha z+\beta)$, développe, puis identifie les coefficients pour trouver rapidement $\alpha$ et $\beta$.

Exercice 3 (version 1)

On résout dans $\mathbb C$ l’équation $z^3-iz^2+(1-i)z-2+2i=0$, en sachant qu’elle admet une solution réelle $z_0$.

On cherche d’abord la racine réelle. Pour $\underline{z\in\mathbb R}$, on sépare parties réelle et imaginaire :
partie réelle $=z^3+z-2$, partie imaginaire $=-z^2-z+2$.
Il faut donc résoudre le système $z^3+z-2=0$ et $-z^2-z+2=0$, soit $z^2+z-2=0$.

L’équation $z^2+z-2=0$ donne $z=1$ ou $z=-2$.

En testant dans $z^3+z-2=0$, on obtient $1^3+1-2=0$ (ok) et $(-2)^3-2-2=-12\neq0$.
Ainsi $z_0=1$ est la solution réelle.

👉 Conseil : pour une racine réelle d’une équation complexe, impose que les deux parties (réelle et imaginaire) soient nulles simultanément.

On factorise alors le polynôme par $(z-1)$ :
$z^3-iz^2+(1-i)z-2+2i=(z-1)\,Q(z)$ avec $Q(z)=z^2+(1-i)z+2-2i$.

👉 Astuce : une division euclidienne ou une identification permet d’obtenir rapidement la factorisation.

On résout $Q(z)=0$. On cherche une factorisation sous la forme $(z-\alpha)(z-\beta)$ avec $\alpha+\beta=-(1-i)$ et $\alpha\beta=2-2i$. En essayant des valeurs simples, on trouve $\alpha=2i$ et $\beta=-1-i$ qui conviennent (somme $=-1+i$, produit $=2-2i$).
Donc $Q(z)=(z-2i)(z+1+i)$ et l’on obtient finalement les trois solutions :
$z=1$, $z=2i$, $z=-1-i$.

👉 Conseil méthode : quand le discriminant d’une équation du second degré complexe n’est pas engageant, tente une factorisation « à l’œil » en testant des candidats simples (entiers, multiples de $i$).
👉 Vérification rapide : substitue les racines trouvées dans l’équation (mentalement ou avec un brouillon) pour confirmer que chaque valeur annule bien le polynôme.

Exercice 3 (version 2)

1. Montrer que cette équation admet une solution réelle pure $a$.

On cherche une solution réelle $a\in\mathbb R$ de $(E)\,:\,z^3- \text i z^2 + (1-\text i)z - 2 + 2\text i=0$.
Pour $a\in\mathbb R$, on sépare parties réelle et imaginaire de $P(a)=a^3- \text i a^2 + (1-\text i)a - 2 + 2\text i$ :

$P(x)=\underbrace{a^3 + a - 2}_{\text{partie réelle}}+\text i\,\underbrace{(-a^2 - a + 2)}_{\text{partie imaginaire}}$.

Ainsi $P(a)=0 \iff \begin{cases}a^3 + a - 2 = 0\\ -a^2 - a + 2 = 0\end{cases} \iff \begin{cases}a^3 + a - 2 = 0\\ a^2 + a - 2 = 0\end{cases}$.

L’équation du second degré donne ses racines $a=1$ ou $a=-2$.
On teste dans $a^3+a-2=0$ :
$1^3+1-2=0$ donc $x=1$ convient ; $(-2)^3+(-2)-2=-12\neq 0$, donc $x=-2$ ne convient pas.
Conclusion : l’équation admet une solution réelle pure $a=1$.

👉 Astuce : quand $z$ est réel, pose $z=x$ avec $x$ réel et impose séparément $\text{Re}(P(x))=0$ et $\text{Im}(P(x))=0$. Commence par l’équation du second degré : c’est le filtre le plus rapide.

2. En déduire une factorisation de $(E)$ par identification

On sait que $z=1$ est racine. On écrit donc, avec $a,b,c\in\mathbb C$,
$z^3- \text i z^2 + (1-\text i)z - 2 + 2\text i=(z-1)(a z^2 + b z + c)$.

On développe le produit à droite :
$(z-1)(a z^2 + b z + c)=a z^3 + (b-a)z^2 + (c-b)z - c$.

On identifie les coefficients avec ceux du polynôme de gauche :
$a=1$ ; $b-a=-\text i \Rightarrow b=1-\text i$ ; $c-b=1-\text i \Rightarrow c=2-2\text i$ ; enfin $-c=-2+2\text i \Rightarrow c=2-2\text i$ (cohérent).

On obtient la factorisation
$z^3- \text i z^2 + (1-\text i)z - 2 + 2\text i=(z-1)\big(z^2+(1-\text i)z+(2-2\text i)\big)$.

👉 Repère-clé : l’« identification » consiste à écrire le produit général, développer, puis égaler coefficient par coefficient. C’est plus sûr qu’une division euclidienne faite de tête.

3.a. Développer $(z-2\text i)(z+1+\text i)$

On calcule directement :
$(z-2\text i)(z+1+\text i)=z(z+1+\text i)-2\text i (z+1+\text i)$
$=z^2+z+\text i z-2\text i z-2\text i-2\text i^2$
$=z^2+(1-\text i)z+(2-2\text i)$, car $\text i^2=-1$.

👉 Pense à regrouper les termes en $z$ et à remplacer $\text i^2$ par $-1$ en toute fin pour éviter les oublis.

3.b. Résoudre $(E)$

D’après la question 2, $(E)$ équivaut à
$(z-1)\big(z^2+(1-\text i)z+(2-2\text i)\big)=0$.

Or, la question 3.a montre que $z^2+(1-\text i)z+(2-2\text i)=(z-2\text i)(z+1+\text i)$.
Ainsi, la factorisation complète est
$(z-1)(z-2\text i)(z+1+\text i)=0$.

Les trois solutions de $(E)$ sont donc
$z_1=1,\quad z_2=2\text i,\quad z_3=-1-\text i$.

👉 Vérification rapide : substitue chacune des racines dans $P(z)$ ou vérifie que le produit des trois facteurs redonne bien les coefficients (somme des racines $=1+\text i$, etc.). C’est un bon garde-fou contre une petite erreur de signe.