Ecriture trigonométrique ou exponentielle d'un complexe

Exercice 1

Forme exponentielle de $z_1=(\sqrt{3}+\text i)(1+\text i)$

On a $|\sqrt{3}+\text i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2$ donc
$\sqrt{3}+\text i=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text i\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{\text i \frac{\pi}{6}}$

On a $|1+\text i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ donc
$1+\text i=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}e^{\text i\frac{\pi}{4}}$

On déduit que
$z_1=2\sqrt{2}e^{\text i\frac{\pi}{6}}e^{\text i\frac{\pi}{4}}=2\sqrt{2}e^{\text i(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})}=2\sqrt{2}e^{\text i\frac{5\pi}{12}}$

Forme exponentielle de $z_2=(1+\text i)^8$

On a $1+\text i=\sqrt{2}e^{\text i\frac{\pi}{4}}$ donc
$z_2=(1+\text i)^8=(\sqrt{2}e^{\text i\frac{\pi}{4}})^8=(\sqrt{2})^8e^{\text i2\pi}=2^4=16$

Exercice 2

1. On pose $z_1=-\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}$ et $z_2=1+\text i\sqrt{3}$ donc $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$

$|z_1|=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$
et $z_1=2\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)=2e^{\text i\frac{3\pi}{4}}$

donc $arg(z_1)=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$

$|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
et $z_2=2\left(\dfrac{1}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=2e^{\text i\frac{\pi}{3}}$

donc $arg(z_2)=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$

On déduit que
$|Z|=\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{2}{2}=1$
et $arg(Z)=arg(z_1)-arg(z_2)=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{12}$

2. On déduit la forme exponentielle de $Z$ :
   $Z=e^{\text i\frac{5\pi}{12}}$

3. On déduit que $Z=\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$

Or $Z=\dfrac{-\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}}{1+\text i\sqrt{3}}=\dfrac{(-\sqrt{2}+\text i\sqrt{2})(1-\text i\sqrt{3})}{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\dfrac{-\sqrt{2}+\text i\sqrt{6}+\text i\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\text i\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Par identification, on déduit que
$\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Exercice 3

Parmi tous les nombres complexes, on note $j=e^{\text i\frac{2\pi}{3}}$.

1. La forme algébrique de $j$ est $j=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2. $j^2=(e^{\text i\frac{2\pi}{3}})^2=e^{\text i\frac{4\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-\text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

3. On a $1+j+j^2=1+\left(-\dfrac{1}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}-\text i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$

donc $j$ est une solution de l'équation $1+z+z^2=0$

4. On a $j^3=(e^{\text i\frac{2\pi}{3}})^3=e^{\text i2\pi}=1$

On déduit que $z^2+z+1=(z-j)(z-j^2)$ donc la deuxième solution de l'équation $1+z+z^2=0$ est $j^2$