Probabilités conditionnelles et variables aléatoires : sac, urnes et gains

On dispose d'un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.
L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.
Si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.
Si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.

On note les événements suivants :
A : ''le joueur obtient une boule avec la lettre A'' ;
C : ''le joueur obtient un billet de 50 euros''.

1. Arbre de probabilité représentant la situation.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.
Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
D'où $P(A)=\dfrac{1}{4}=0,25$ et par suite $P(\overline A)= \dfrac 34=0,75$.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.
Si c'est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l'urne A.
L'urne A contient 5 billets : 3 billets de 50 euros et 2 billets de 10 euros.
D'où $P_A(C)=\dfrac35=0,6$ et par suite $P_A(\overline C)= \dfrac 25=0,4$.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac.
Si c'est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l'urne B.
L'urne B contient 4 billets : 1 billet de 50 euros et 3 billets de 10 euros.

D'où $P_{\overline A}(C)=\dfrac14=0,25$ et par suite $P_{\overline A}(\overline C)= \dfrac 34=0,75$.

Nous pouvons alors dresser l'arbre de probabilité modélisant la situation :

2. Nous devons déterminer la probabilité de l'événement '' Le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros '', soit $P(A\cap C)$.

$P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)$
$\phantom{P(A\cap C)}=0,25\times 0,6$
$\phantom{P(A\cap C)}=0,15$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(A\cap C)=0,15}$

3. Nous devons démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à $0,3375$.

Les événements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(C)=P(A\cap C)+P(\overline {A}\cap C)$
$\phantom{P(C)}=0,15+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(C)$
$\phantom{P(C)}=0,15+0,75\times 0,25$
$\phantom{P(C)}=0,3375$

$\Longrightarrow\ \boxed{P(C)=0,3375}$

4. Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.
   Nous devons déterminer si l'affirmation '' Il y a plus de 80 % de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B '' est vraie.

Calculons $P_{\overline C}(\overline A)$.

$P_{\overline C}(\overline A)=\dfrac{P(\overline A\cap \overline C)}{P(\overline C)}$
$\phantom{P_{\overline C}(\overline A)}=\dfrac{P(\overline A)\times P_{\overline A}(\overline C)}{1-P(C)}$
$\phantom{P_{\overline C}(\overline A)}=\dfrac{0,75\times 0,75}{1-0,3375}$
$\phantom{P_{\overline C}(\overline A)}=\dfrac{0,5625}{0,6625}\approx 0,85$

$\Longrightarrow\ \boxed{P_{\overline C}(\overline A)\approx 0,85}$

Donc sachant que le joueur a obtenu un billet de 10 euros, la probabilité qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B est environ égale à 85 %.
Par conséquent, l'affirmation est vraie.

5. On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.
   Exemple : si le joueur obtient un billet de 50 euros, on a $X_1=50$.

Nous devons montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23,5$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357,75$.

Résumons la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$ dans un tableau.

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i & 10 & 50\\ \hline P(X=x_i) & 0,6625 & 0,3375\\ \hline \end{array}$

Calculons l'espérance $E(X_1)$.

$E(X_1)=10\times 0,6625+50\times 0,3375$
$\phantom{E(X_1)}=6,625+16,875$
$\phantom{E(X_1)}=23,5$

$\Longrightarrow\ \boxed{E(X_1)=23,5}$

Calculons la variance $V(X_1)$.

$V(X_1)=0,6625\times(10-23,5)^2+0,3375\times(50-23,5)^2$
$\phantom{V(X_1)}=0,6625\times182,25+0,3375\times702,25$
$\phantom{V(X_1)}=357,75$

$\Longrightarrow\ \boxed{V(X_1)=357,75}$

6. Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie.
   On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y=X_1+X_2$.

6. a) Nous devons montrer que $E(Y)=47$.

Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ suivent la même loi.
Elles ont donc la même espérance mathématique, soit $E(X_1)=E(X_2)=23,5$.

Par la linéarité de l'espérance, nous obtenons :

$E(Y)=E(X_1+X_2)$
$\phantom{E(Y)}=E(X_1)+E(X_2)$
$\phantom{E(Y)}=23,5+23,5$
$\phantom{E(Y)}=47$

$\Longrightarrow\ \boxed{E(Y)=47}$

6. b) Nous devons expliquer pourquoi on a $V(Y)=V(X_1)+V(X_2)$.

Les deux tirages sont indépendants car on a remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne après le premier tirage.
Dès lors par la propriété d'additivité, nous obtenons :

$V(Y)=V(X_1+X_2)$
$\phantom{V(Y)}=V(X_1)+V(X_2)$

$\Longrightarrow\ \boxed{V(Y)=V(X_1)+V(X_2)}$

7. Le joueur joue de même une troisième, une quatrième, …, une centième partie.
   On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3 , X_4 , \ldots , X_{100}$.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=X_1+X_2+\ldots+X_{100}$.

Nous devons démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $],1,950;;;2,750,[$ est supérieure ou égale à $0,75$.

Les variables aléatoires $X_1 , X_2 , X_3 , \ldots , X_{100}$ suivent la même loi.
Elles ont donc la même espérance mathématique égale à $23,5$.

Par la linéarité de l'espérance, nous obtenons :

$E(Z)=E(X_1+X_2+\cdots+X_{100})$
$\phantom{E(Z)}=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_{100})$
$\phantom{E(Z)}=100\times E(X_1)$
$\phantom{E(Z)}=100\times 23,5$
$\phantom{E(Z)}=2,350$

$\Longrightarrow\ \boxed{E(Z)=2,350}$

Les 100 tirages sont indépendants.
Dès lors par la propriété d'additivité, nous obtenons :

$V(Z)=V(X_1+X_2+\cdots+X_{100})$
$\phantom{V(Z)}=V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_{100})$
$\phantom{V(Z)}=100\times V(X_1)$
$\phantom{V(Z)}=100\times 357,75$
$\phantom{V(Z)}=35,775$

$\Longrightarrow\ \boxed{V(Z)=35,775}$

Nous devons démontrer que $P\big(Z\in],1,950;;;2,750,[\big)\geq 0,75$.

$P\big(Z\in]\,1,950\;;\;2,750,[\big)=P(1,950<Z<2,750)$
$\phantom{P}=P(1,950-2,350<Z-2,350<2,750-2,350)$
$\phantom{P}=P(-400<Z-2,350<400)$
$\phantom{P}=P(|Z-2,350|<400)$
$\phantom{P}=1-P(|Z-2,350|\geq 400)$

$\Longrightarrow\ \boxed{P\big(Z\in]\,1,950\;;\;2,750,[\big)=1-P(|Z-2,350|\geq 400)}$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
$P(|Z-E(Z)|\geq a)\leq \dfrac{V(Z)}{a^2}\quad\text{où}\quad a>0.$

Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en posant $a=400$.

$P(|Z-2,350|\geq 400)\leq \dfrac{35,775}{400^2}=\dfrac{35,775}{160,000}$
$\Longrightarrow\ 1-P(|Z-2,350|\geq 400)\geq 1-\dfrac{35,775}{160,000}$

D'où $\boxed{P\big(Z\in]\,1,950\;;\;2,750,[\big)\geq 1-\dfrac{35,775}{160,000}}$.

Or $1-\dfrac{35,775}{160,000}\approx 0,7764\ {\red{\geq 0,75}}$.

Par conséquent, la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]\,1,950\;;\;2,750,[$ est supérieure ou égale à $0,75$.