Applications du logarithme décimal

Exercice 1 —

Rappel de l’énoncé
Estimer un ordre de grandeur avec le logarithme : $1.$ estimer $\log(75)$ ; $2.$ estimer $\log(8200)$.

Étapes détaillées
Pour tout réel positif $x$, on peut écrire $x = a \times 10^k$ avec $a \in [1;10)$ et $k \in \mathbb{Z}$, d’où $\log(x)=\log(a)+k$.

$1.$ Écriture normalisée de $75$ : $75 = 7{,}5 \times 10^1$.
$\log(75)=\log(7{,}5)+1$. Or $\log(7{,}5) \approx 0{,}875$.
Conclusion : $\log(75) \approx 1{,}875$.
Vérification calculatrice : $\log(75) \approx 1{,}8751$.

$2.$ Écriture normalisée de $8200$ : $8200 = 8{,}2 \times 10^3$.
$\log(8200)=\log(8{,}2)+3$. Or $\log(8{,}2) \approx 0{,}914$.
Conclusion : $\log(8200) \approx 3{,}914$.
Vérification calculatrice : $\log(8200) \approx 3{,}9138$.

Conseil
👉 pense toujours à écrire $x$ sous la forme $a \times 10^k$ : le $k$ “tombe” directement dans $\log(x)=\log(a)+k$.

Exercice 2

Rappel de l’énoncé
Résoudre à l’aide des logarithmes : $1.$ $5^x=200$ ; $2.$ $3^x=50$.

Méthode générale
Si $a^x=b$ avec $a>0$, $a\neq 1$, alors $x=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}$.

$1.$ Équation $5^x=200$.
$x=\dfrac{\log(200)}{\log(5)}$.
Valeurs approchées : $\log(200)\approx 2{,}3010$, $\log(5)\approx 0{,}6990$.
$x \approx \dfrac{2{,}3010}{0{,}6990} \approx 3{,}29$.

$2.$ Équation $3^x=50$.
$x=\dfrac{\log(50)}{\log(3)}$.
Valeurs approchées : $\log(50)\approx 1{,}6990$, $\log(3)\approx 0{,}4771$.
$x \approx \dfrac{1{,}6990}{0{,}4771} \approx 3{,}56$.

Conseils
👉 écris immédiatement $x=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}$ pour éviter les manipulations inutiles.
👉 garde 3 à 4 décimales pour les logs, puis arrondis le résultat final selon le contexte.

Exercice 3

Rappel de l’énoncé
Croissance composée : $C_n=1000 \times (1{,}05)^n$. Déterminer le plus petit $n$ tel que $C_n>2000$.

Mise en équation
$1000 \times (1{,}05)^n > 2000 \iff (1{,}05)^n > 2$.

Passage aux logarithmes
$n \log(1{,}05) > \log(2) \iff n > \dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)}$.

Calcul numérique
$\log(2)\approx 0{,}3010$, $\log(1{,}05)\approx 0{,}02119$.
$\dfrac{\log(2)}{\log(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}02119} \approx 14{,}21$.

Conclusion
Le plus petit entier strictement supérieur à $14{,}21$ est $15$.
Donc le capital dépasse $2000$ € au bout de $15$ ans.

Conseils
👉 pense à écrire l’inéquation sous la forme $(1{,}t)^n > \text{seuil}$ avant de prendre le logarithme.
👉 dans une question “dépasse”, prends l’entier supérieur à la valeur trouvée.

Exercice 4

Rappel de l’énoncé
Suite géométrique $u_n=2 \times 3^n$.
$1.$ Calculer $\log(u_n)$.
$2.$ Montrer que $(\log(u_n))$ est arithmétique.

Calcul de $\log(u_n)$
$\log(u_n)=\log(2 \times 3^n)=\log(2)+\log(3^n)=\log(2)+n \log(3)$.

Caractère arithmétique
On a $\log(u_{n+1})-\log(u_n) = [\log(2)+(n+1)\log(3)]-[\log(2)+n\log(3)]=\log(3)$, constant.
La suite $(\log(u_n))$ est donc arithmétique de premier terme $\log(2)$ et de raison $\log(3)$.

Conseil
👉 retiens l’identité clé $\log(ab)=\log a+\log b$ et $\log(a^n)=n\log a$ : c’est tout l’outil de “linéarisation”, sans oublier au départ les conditions qui doivent être vérifiées.

Exercice 5

Rappel de l’énoncé
Modèle $P(t)=5000 \times 2^{0{,}03t}$.
$1.$ Calculer $P(10)$.
$2.$ Déterminer le temps de doublement.

Population à $t=10$
$P(10)=5000 \times 2^{0{,}3}$.
Approche numérique : $2^{0{,}3}=10^{0{,}3 \log(2)} \approx 10^{0{,}3 \times 0{,}3010} \approx 10^{0{,}0903} \approx 1{,}231$.
Conclusion : $P(10) \approx 5000 \times 1{,}231 \approx 6155$.

Temps de doublement
Chercher $t$ tel que $P(t)=2 \times 5000 = 10000$.
$5000 \times 2^{0{,}03t}=10000 \iff 2^{0{,}03t}=2^1$.
En appliquant le logarithme (ou en identifiant directement les puissances de $2$) :
$0{,}03t \log(2)=\log(2) \iff t=\dfrac{\log(2)}{0{,}03\log(2)}=\dfrac{1}{0{,}03}=\dfrac{100}{3} \approx 33{,}33$ années.

Conseils
👉 pour $a^{k t}$, le temps de doublement vaut $t_2=\dfrac{\log 2}{k \log a}$ ; ici $a=2$, donc $t_2=\dfrac{1}{k}$.
👉 si la base est $e$, pense à $\ln$ ; si la base est $10$ ou $2$, garde $\log$ et la propriété $a^{xy}=(a^x)^y$.