Applications du logarithme décimal

Le logarithme est couramment utilisé pour résoudre des problèmes pratiques, tels que le calcul d'annuités, de taux d'intérêt, ou la transformation de séries de données.

I. Calcul d’ordre de grandeur

Utiliser le logarithme pour estimer des ordres de grandeur.
Par exemple, $\log(345)$ est environ $2.537$ car $10^{2.537} \approx 345$.

II. Problèmes d’annuités et de taux moyen

Les logarithmes sont utilisés pour résoudre des problèmes de calcul d'annuités, comme dans le cas des prêts ou des investissements.

III. Transformation logarithmique de données

En statistique, on utilise le logarithme pour linéariser une série géométrique. Cela permet de travailler plus facilement avec des données exponentielles.

IV. Exemples

1. Calcul d’une durée dans un modèle $a^x = b$ :
   Si un montant d'investissement croît de manière exponentielle, on peut utiliser les logarithmes pour trouver le temps nécessaire à atteindre un certain montant.

2. Utilisation de $\log$ pour linéariser une série géométrique :
   Transformer les données exponentielles en une somme, facilitant ainsi les calculs statistiques.

V. Problème concret

Dans un modèle de croissance démographique où la population $P$ suit la loi $P = P_0 3^{rt}$, on suppose que la population initiale est de 10 000 et que la croissance annuelle est de 2%. Quelle sera la population après 20 ans ? Utilisez les logarithmes pour résoudre cette question.

Solution :
$P = P_0 3^{rt}$
$P = 10000 \cdot 3^{0.02 \cdot 20}$
$P = 10000 \cdot 3^{0.4}$
$P \approx 10000 \cdot 1.5518 = 15~518$

La population après 20 ans sera d'environ 15 518 habitants.