Résolution d’équations et d’inéquations avec des logarithmes

Les logarithmes sont des outils puissants pour résoudre des équations et inéquations impliquant des puissances.

I. Équations exponentielles

Pour résoudre $a^x = b$, on prend le logarithme des deux côtés :

$\log(a^x) = \log(b) \Rightarrow x \log(a) = \log(b) \Rightarrow x = \dfrac{\log(b)}{\log(a)}$.

II. Inéquations exponentielles

Pour résoudre des inéquations comme $a^x \lt b$, on prend également le logarithme des deux côtés (en supposant que $a \gt 1$ pour conserver le sens de l'inégalité) :

$a^x \lt b \Rightarrow x \log(a) \lt \log(b)$.

III. Exemples

1. Résoudre $10^x = 3$ :
   $\log(10^x) = \log(3) \Rightarrow x = \log(3) \approx 0.477$.

2. Résoudre $x^2 = 100$ par logarithmes :
   $\log(x^2) = \log(100) \Rightarrow 2 \log(x) = \log(100) \Rightarrow \log(x) = \dfrac{\log(100)}{2} \Rightarrow x = 10$.

3. Résoudre $2^x < 5$ :
   $\log(2^x) \lt \log(5) \Rightarrow x \log(2) \lt \log(5) \Rightarrow x \lt \dfrac{\log(5)}{\log(2)} \approx 2.322$.

IV. Problème concret

La population d’une ville double tous les 10 ans. Si la population initiale est de 100 000 habitants, après combien de temps la population atteindra-t-elle 1 million d'habitants ? Résoudre l'équation en utilisant des logarithmes.

Solution :
L'équation est :

$1000000 = 100000 \cdot 2^{\frac{t}{10}}$

Divisons par 100000 :

$10 = 2^{\frac{t}{10}}$

Prenons le logarithme :

$\log(10) = \frac{t}{10} \log(2)$

$t = \dfrac{10 \log(10)}{\log(2)} \approx 33.22$

Il faudra environ 33.22 années.