Parallélogrammes

I) Les points clés

1) Définition et propriétés du parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Exemple : ABCD est un parallélogramme car (AB) // (DC) et (AD) // (BC).

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

• Ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Ses diagonales ont le même milieu.
• Ses angles opposés sont égaux.
• Ses angles consécutifs sont supplémentaires.
• Il a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses deux diagonales.

2) Propriétés des parallélogrammes particuliers

Si ABCD est un rectangle, alors :

• C’est un parallélogramme.
• $\widehat{BAD} = \widehat{ABC} = \widehat{BCD} = \widehat{ADC} = 90°$
• [AC] et [BD] ont le même milieu et AC = BD.

Si ABCD est un losange, alors :

• C’est un parallélogramme.
• AB = BC = CD = AD
• [AC] et [BD] ont le même milieu et (AC) $\perp$ (BD)
• (AC) et (BD) sont des axes de symétrie de ABCD.

Si ABCD est un carré, alors il a toutes les propriétés d’un rectangle et d’un losange.

Mots-clés

• Sommets consécutifs : Deux sommets se suivant immédiatement.
• Diagonale : Segment qui relie deux sommets non consécutifs d'un polygone.

II) Démontrer l’existence d’un parallélogramme

Je peux utiliser l’une des trois propriétés suivantes :

• Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c’est un parallélogramme.

Exemple : Je sais, d’après le codage de la figure, que [AC] et [BD] ont le même milieu O. En utilisant la 3^e propriété, je conclus qu’ABCD est un parallélogramme.