Notion d'onde

I. Rappels de première

• La présente fiche s'inscrit dans la continuité des notions vues en classe de première :

  $\quad\circ\quad$ Perturbation, d'onde mécanique et d'onde électromagnétique ;

  $\quad\circ\quad$ Propriétés de propagation de ces ondes ;

  $\quad\circ\quad$ Grandeurs physiques associées à cette onde : célérité, période, amplitude, fréquence et longueur d'onde ;

  $\quad\circ\quad$ Régime sinusoïdal.

• Il est donc essentiel de relire les fiches de cours suivante pour réviser ces notions :

Les ondes mécaniques

Les ondes électromagnétiques

L'énergie électrique

II. Décomposition d'un signal périodique

1. Décomposition d'un signal périodique : cas général

• Définition :

  Tout signal périodique peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux (en vertu du théorème de Fourier). Cette décomposition est appelée analyse spectrale.

• Propriété :

• Un signal périodique $s(t)$ de période $T$ peut s'écrire sous la forme d'une série de Fourier :

  $\boxed{s(t) = \displaystyle A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(n \omega \cdot t) + B_n \sin(n \omega \cdot t) \right]}$

  où :

  $\circ\quad$ $A_0$ est la composante continue (valeur moyenne du signal) ;

  $\circ\quad$ $A_n$ et $B_n$ sont les amplitudes des harmoniques ;

  $\circ\quad$ $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ est la pulsation fondamentale ;

  $\circ\quad$ $n$ est l'ordre de l'harmonique :

  $\quad\quad\rightarrow$ $n=1$ : harmonique fondamentale ;

  $\quad\quad\rightarrow$ $n=2$ : deuxième harmonique,

  $\quad\quad\rightarrow$ Etc.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Les séries de Fourier seront vues en détail lors des études supérieures ; cette relation n'est donc pas à connaître par cœur ;

  $\circ\quad$ De la même façon, les coefficients $A_n$ et $B_n$ pourront être calculés à partir du signal $s(t)$ en utilisant les formules de Fourier (vues également dans les études supérieures) ;

  $\circ\quad$ En terminale, les expressions des signaux seront fournies pour des cas simplifiés ;

  $\circ\quad$ Dans le cas d'un signal périodique exprimé sous la forme $A\cos(\omega \cdot t)+B\sin(\omega \cdot t)$, il est possible de revenir à sa forme plus usuelle $A' \cos(\omega \cdot t + \varphi)$ vue dans le cours d'électricité en appliquant la méthode explicitée dans la fiche de mathématiques suivante :

  Écrire une somme de cosinus et sinus sous forme déphasée

2. Spectre d'amplitude

• Définition :

  Le spectre d'amplitude d'un signal périodique représente l'amplitude des différentes composantes sinusoïdales (fondamental et harmoniques) en fonction de leur fréquence.

• Le spectre d'amplitude est une représentation graphique où :

  $\circ\quad$ L'axe des abscisses représente la fréquence (en $Hz$) ;

  $\circ\quad$ L'axe des ordonnées représente l'amplitude des composantes.

• Pour un signal périodique, le spectre d'amplitude est dit discret : il ne contient que des raies aux fréquences multiples de la fréquence fondamentale $f_0$ (également notée $f_1$).

• Exemple : un signal carré de fréquence fondamentale $f_0$ a un spectre d'amplitude contenant des harmoniques aux fréquences $f_0$, $3f_0$, $5f_0$, etc.

• Méthode :

  Pour exploiter un spectre d'amplitude :

  $\circ\quad$ Identifier la fréquence du fondamental $f_0$ (également notée $f_1$) ;

  $\circ\quad$ Déterminer l'amplitude de la composante continue $A_0$ ;

  $\circ\quad$ Repérer les amplitudes et les fréquences des harmoniques ;

  $\circ\quad$ Calculer le rang d'un harmonique à partir de sa fréquence.

• Exemple :

  $\circ\quad$ Un signal périodique a un spectre d'amplitude contenant des raies à $50 \, \text{Hz}$ (fondamental), $150 \, \text{Hz}$ (3^e harmonique), et $250 \, \text{Hz}$ (5^e harmonique). L'amplitude du fondamental est de $3 \, \text{V}$, celle de la 3^e harmonique est de $1 \, \text{V}$, et celle de la 5^e harmonique est de $0,5 \, \text{V}$ ;

  $\circ\quad$ Il est conseillé de mettre sous la forme d'un tableau de données les caractéristiques du spectre fournies par l'énoncé :

  $\circ\quad$ Le spectre d'amplitude sera donc le suivant :

3. Types de signaux périodiques

• Définition :

  Un son pur (onde sinusoïdale) est un spectre d'amplitude qui ne contient qu'une seule raie à la fréquence fondamentale.

  

• Exemple : un diapason produit un son pur.

• Définition :

  Un son complexe (onde périodique non sinusoïdale) est un spectre d'amplitude qui contient plusieurs raies aux fréquences multiples de la fréquence fondamentale $f_0$ (fondamental et harmoniques donc).

  

• Exemple : une note de piano, une note de guitare, ou la voix humaine produisent des sons complexes.

• Remarque : la forme du signal d'un son complexe dépend de l'amplitude et de la phase des harmoniques présentes.

III. Transmission d'un signal

• Pour transmettre un signal, il est nécessaire de déterminer l'intervalle de fréquence nécessaire pour transmettre l'ensemble des harmoniques choisies.

• Définition :

  La bande passante d'un signal est l'intervalle de fréquences contenant les harmoniques significatives du signal.

• Ainsi, pour transmettre un signal sans distorsion, il faut que la bande passante du canal de transmission soit au moins égale à la bande passante du signal.

IV. Applications concrètes

• Il existe une multitude d'applications possibles pour le présent cours, y compris pour un sujet d'oral :

  $\circ\quad$ Observation des transpositions en fréquence induits par les modulations :

  $\quad\quad\rightarrow$ Analyser comment une modulation ($AM$, $FM$) modifie le spectre d'amplitude d'un signal ;

  $\quad\quad\rightarrow$ Étudier l'impact de la bande passante sur la qualité de la transmission.

  $\circ\quad$ Utilisation de l'analyse spectrale pour la détection de pollution électromagnétique :

  $\quad\quad\rightarrow$ Mesurer le spectre d'amplitude des ondes électromagnétiques dans un environnement donné ;

  $\quad\quad\rightarrow$ Identifier les sources de pollution et évaluer leur impact.

• De même, pour faire écho au cours d'électricité (L'énergie électrique), la suppression et la maîtrise des harmoniques de tension sur le réseau de transport d'électricité (RTE) sont cruciales pour garantir la qualité du signal électrique, la stabilité du réseau et la longévité des équipements. En effet, ces perturbations déforment l'onde sinusoïdale fondamentale (fixée à $50~Hz$), provoquant des surchauffes, un vieillissement prématuré des équipements (transformateurs, condensateurs) et des dysfonctionnements sur le réseau. En effet, les harmoniques sont causées par des charges non linéaires, comme les variateurs de vitesse ou les redresseurs. Pour ce faire, des normes et règlementations strictes doivent être respectées pour se raccorder au réseau.