Nombres premiers

I. Les nombres premiers

$\circ$ Un nombre premier est un nombre entier supérieur à $1$ qui n’a que deux diviseurs : $1$ et lui-même.
$\circ$ Par exemple, $7$ est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont $1$ et $7$.
$\circ$ En revanche, $9$ n’est pas premier : il a pour diviseurs $1$, $3$, $9$.

Liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ :
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$.

II. Décomposer un nombre en facteurs premiers

$\circ$ Décomposer un nombre en facteurs premiers, c’est l’écrire comme un produit de nombres premiers.

$\rightarrow$ Exemple :
Décomposons $60$ en facteurs premiers.
$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$
Donc $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

$\rightarrow$ Exemple :
Décomposons $84$ en facteurs premiers.
$84 = 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$
Donc $84 = 2^2 \times 3 \times 7$.

III. Reconnaître et produire des fractions égales

$\circ$ Deux fractions sont égales si elles représentent la même valeur.

$\rightarrow$ Exemple :
$\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{4}{6}$ sont égales car :
$2 \times 2 = 4$ et $3 \times 2 = 6$, donc $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.

$\rightarrow$ Exemple :
Pour produire une fraction égale à $\dfrac{5}{8}$ avec un dénominateur $40$, on cherche combien on doit multiplier $8$ pour obtenir $40$ :
$8 \times 5 = 40$, donc on multiplie le numérateur aussi par $5$ :
$\dfrac{5 \times 5}{8 \times 5} = \dfrac{25}{40}$

IV. Simplifier des fractions

$\circ$ Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, souvent trouvé grâce à la décomposition en facteurs premiers.

$\rightarrow$ Exemple :
Simplifions $\dfrac{42}{56}$.
Décomposons :
$42 = 2 \times 3 \times 7$
$56 = 2^3 \times 7$
On a les facteurs communs : $2$ et $7$
Donc $\dfrac{42}{56} = \dfrac{2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 7} = \dfrac{3}{2 \times 2} = \dfrac{3}{4}$

À RETENIR

$\circ$ Connaître les nombres premiers permet de décomposer n'importe quel entier.
$\circ$ Cette décomposition est utile pour simplifier les fractions ou vérifier si elles sont égales.
$\circ$ Pour simplifier une fraction, on cherche les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Exercice 1 : Décomposition et simplification

Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers, puis simplifier la fraction suivante :

$\dfrac{90}{126}$

Correction de l'exercice 1

$\circ90 = 2 \times 3^2 \times 5$
$\circ126 = 2 \times 3^2 \times 7$

Donc $\dfrac{90}{126} = \dfrac{2 \times 3^2 \times 5}{2 \times 3^2 \times 7}$

On simplifie par $2$ et $3^2$ :

$\dfrac{90}{126} = \dfrac{5}{7}$

✅ Résultat simplifié : $\boxed{\dfrac{5}{7}}$

Exercice 2 : Produire une fraction égale

Compléter la fraction pour qu’elle soit égale à $\dfrac{7}{9}$ :

$\dfrac{\ldots}{45} = \dfrac{7}{9}$

Correction de l'exercice 2

On cherche par combien il faut multiplier $9$ pour obtenir $45$ :
$9 \times 5 = 45$

Donc on multiplie aussi le numérateur par $5$ :

$7 \times 5 = 35$

✅ Résultat : $\boxed{\dfrac{35}{45}} = \dfrac{7}{9}$