Mise en œuvre algorithmique

Dans cette leçon, on va utiliser la méthode d'Euler pour construire automatiquement une courbe grâce à un algorithme.

I. Principe de l’algorithme

On souhaite construire des valeurs approchées d’une fonction $f$ vérifiant : $f'(x)=f(x)$

On utilise la relation d’Euler : $f(x+h) \approx (1+h)f(x)$

On part de :

• une valeur initiale $x_0$

• une valeur initiale $f(x_0)$

• un pas $h$

Étapes

On répète :

• on calcule la nouvelle valeur de $x$

• on calcule la nouvelle valeur de $f(x)$

Cela donne :

$x_{n+1}=x_n+h$

$f_{n+1}=(1+h)f_n$

II. Exemple concret

On prend :

• $x_0=0$

• $f_0=1$

• $h=0{,}1$

Calculs

$x_1=0{,}1$ et $f_1=1{,}1$

$x_2=0{,}2$ et $f_2=1{,}21$

$x_3=0{,}3$ et $f_3=1{,}331$

On obtient une suite de points : $(x_n ; f_n)$

III. Écriture d’un algorithme

Version en langage naturel

• Initialiser $x$ et $f$

• Choisir un pas $h$

• Répéter plusieurs fois :

  • augmenter $x$ de $h$

  • multiplier $f$ par $(1+h)$

  • afficher les valeurs

Exemple en pseudo-code

Début
$x \leftarrow 0$
$f \leftarrow 1$
$h \leftarrow 0{,}1$

Pour $n$ allant de $1$ à $10$ faire :
 $x \leftarrow x + h$
 $f \leftarrow (1 + h) \times f$
 Afficher $(x ; f)$
Fin

IV. Lien avec la programmation

Cet algorithme correspond à :

• une boucle (répétition)

• une mise à jour de variables

• un calcul étape par étape

En Python, cela correspondrait à :

• une boucle for

• des variables mises à jour à chaque étape

V. Interprétation et représentation graphique

L’algorithme :

• simule le comportement de la fonction

• construit une approximation de la courbe

• permet de visualiser l’évolution

On retrouve exactement la logique de la physique :

• on connaît une variation

• on reconstruit progressivement la grandeur

Les points obtenus peuvent être tracés dans un repère ou directement avec un tableur.

On obtient une approximation de la courbe

VI. Compréhension globale

La méthode d’Euler devient ici :

• un outil numérique

• un algorithme simple

• une méthode de simulation

Elle permet de relier mathématiques, physique et informatique.