I. Problème posé

Dans certains cas, on connaît une fonction $f$ mais on ne connaît pas de primitive explicite

Exemples :

• $f(t)=\dfrac{1}{t}$

• $f(t)=\dfrac{1}{1+t^2}$

Il est impossible de trouver facilement une expression simple de la primitive.

II. Idée de la méthode d’Euler

Plutôt que de calculer exactement la primitive, on va :

• construire des valeurs approchées

• point par point

• avec un pas de calcul

III. L’approximation locale (idée fondamentale)

Dans le cours sur les approximations affines, on a vu que autour d'une valeur donnée $x_0$ la courbe et sa tangente pouvaient se confondre.

On a : $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Pour $h$ petit et en posant $x=x_0+h$, on obtient :

$f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)\times h$ ce qu'on écrit aussi couramment, en posant $x_0=a$ :

$\boxed{f(a+h) \approx f(a) + h \times f'(a)}$

Mon problème : Je cherche une fonction $f$ telle que pour tout $x$ réel, $f'(x)=f(x)$

Comme $f'(a)=f(a)$ : $f(a+h) \approx f(a) + h \times f(a)$

Je factorise : $f(a+h) \approx (1+h)f(a)$

Cette relation est une approximation, pas une égalité , elle est valable uniquement si $h$ est petit

IV. Interprétation avec la physique

On a vu que :

• la dérivée représente une variation

• la primitive représente une accumulation

Traduction concrète

$f(a+h) \approx f(a) + h \times \text{variation}$

On avance :

• à partir de la valeur actuelle

• en ajoutant une petite variation

C’est exactement ce que fait la méthode d’Euler : on va avancer pas à pas.

V. Construction pas à pas

On choisit :

• une valeur initiale $f(0)$ (ici ce sera $1$)

• un pas $h$

Étapes

On calcule successivement :

$f(h) \approx (1+h)f(0)$

$f(2h) \approx (1+h)f(h)$

$f(3h) \approx (1+h)f(2h)$

On obtient une suite : $f(nh) \approx (1+h)^n$

Les valeurs obtenues forment une suite géométrique de raison $(1+h)$

On construit ainsi une approximation de la courbe

On prend :

• $f(0)=1$

• $h=0{,}1$

Calculs

$f(0{,}1) \approx 1{,}1$
$f(0{,}2) \approx 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$
$f(0{,}3) \approx 1{,}331$

VI. Représentation graphique

On peut automatiser les calculs dans un tableur et on obtient ces représentations.

On obtient une approximation d'une courbe correspondant à une croissance appelée exponentielle.

En voici un exemple pour des valeurs sur $[0~ ;~ 2]$.

puis sur $[0~ ;~ 4,5]$

VII. Influence du pas $h$

Plus $h$ est petit :

• plus l’approximation est précise

• plus la courbe est proche de la réalité

Plus $h$ est grand :

• plus l’erreur augmente