Maîtriser les quatre opérations élémentaires sur les nombres relatifs

Rappels de cours

1 Nombre relatif

 Un nombre relatif est composé de deux éléments : son signe et sa distance à 0.

exemples+ 2,5 est un nombre relatif positif dont la distance à 0 est 2,5.

– 3,5 est un nombre relatif négatif dont la distance à 0 est 3,5.

 Un nombre relatif peut être représenté sur une droite graduée.

2 Addition de nombres relatifs

 La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif dont :

• le signe est le signe commun aux deux nombres 

• la distance à 0 est la somme de leurs distances à 0.

exemples $\left(+\mathrm{2,4}\right)+\left(+\mathrm{3,7}\right)=+\mathrm{6,1}$ et $\left(-\mathrm{4,4}\right)+\left(-\mathrm{2,1}\right)=-\mathrm{6,5}$

 La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif dont :

• le signe est celui du nombre possédant la plus grande distance à 0 

• la distance à 0 est la différence de leurs distances à 0.

exemples $\left(-\mathrm{2,4}\right)+\left(+\mathrm{3,7}\right)=+\mathrm{1,3}$ et $\left(-\mathrm{4,4}\right)+\left(+\mathrm{2,1}\right)=-\mathrm{2,3}$

3 Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif d’un autre nombre relatif, on lui ajoute son opposé.

exemples $\left(+\mathrm{5,25}\right)-\left(+\mathrm{3,7}\right)=\left(+\mathrm{5,25}\right)+\left(-\mathrm{3,7}\right)=+\mathrm{1,55}$

et $\left(-\mathrm{5,25}\right)-\left(+\mathrm{3,7}\right)=\left(-\mathrm{5,25}\right)+\left(-\mathrm{3,7}\right)=-\mathrm{8,95}$

4 Multiplication, division de nombres relatifs

 Le produit (ou la division) de deux nombres relatifs est un nombre relatif dont le signe est donné par la « règle des signes » et dont la distance à 0 est le produit (ou la division) de leurs distances à zéro.

 La « règle des signes » est la suivante :

• Le produit (ou la division) de deux nombres de même signe est positif.

• Le produit (ou la division) de deux nombres de signes différents est négatif.

exemples $\left(+\mathrm{5,25}\right)\times \left(+2\right)=+\mathrm{10,5}$ et $\left(+\mathrm{4,9}\right)\times \left(-2\right)=-\mathrm{9,8}$

$\left(+\mathrm{1,87}\right)÷\left(-\mathrm{1,1}\right)=-\mathrm{1,7}$ et $\left(-\mathrm{4,48}\right)÷\left(-\mathrm{3,2}\right)=+\mathrm{1,4}$

Méthodes

Calculer avec des nombres relatifs

Compléter les égalités suivantes :

a. $\left(-5\right)\times (\dots )=-\mathrm{7,5}$

c. $\left(-\mathrm{6,45}\right)+(\dots )=-\mathrm{7,5}$

b. $\left(-\mathrm{3,7}\right)-(\dots )=+\mathrm{5,5}$

d. $\left(-\mathrm{6,45}\right)÷(\dots )=-\mathrm{1,5}$

Repère
Solution

a. $\left(-5\right)\times \left(+\mathrm{1,5}\right)=-\mathrm{7,5}$

c. $\left(-\mathrm{6,45}\right)+\left(-\mathrm{1,05}\right)=-\mathrm{7,5}$

b. $\left(-\mathrm{3,7}\right)-\left(-\mathrm{9,2}\right)=+\mathrm{5,5}$

d. $\left(-\mathrm{6,45}\right)÷\left(+\mathrm{4,3}\right)=-\mathrm{1,5}$

Effectuer des calculs enchaînés

On donne $x=-5$, $y=+\mathrm{3,2}$, $z=-\mathrm{2,4}$ et $t=+\mathrm{4,8}$. Donner les écritures décimales des nombres suivants :

a. $A=\frac{x+y}{z-t}$

b. $B=\frac{3x-2z}{-4y+3t}$

Repère
conseils

Calculez séparément le numérateur, puis le dénominateur de $A$. Déduisez-en alors $A$. Procédez de la même façon pour calculer $B$.

Repère
Solution

a. Notons respectivement $N_A$ et $D_A$ le numérateur et le dénominateur de $A$.

$N_A=\left(-5\right)+\left(+\mathrm{3,2}\right)=-\mathrm{1,8}$

et $D_A=\left(-\mathrm{2,4}\right)-\left(+\mathrm{4,8}\right)=-\mathrm{7,2}$.

Alors $A=\frac{-\mathrm{1,8}}{-\mathrm{7,2}}$, soit $A=+\mathrm{0,25}$.

b. De même, nous avons $N_B=3\left(-5\right)-2\left(-\mathrm{2,4}\right)=-\mathrm{10,2}$

et $D_B=-4\left(+\mathrm{3,2}\right)+3\left(+\mathrm{4,8}\right)=+\mathrm{1,6}$.

Alors $B=\frac{-\mathrm{10,2}}{+\mathrm{1,6}}=-\mathrm{6,375}$.