Logique propositionnelle et logique des prédicats

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Logique propositionnelle

La logique propositionnelle traite des propositions et de leur assemblage à l'aide de connecteurs logiques.

1) Propositions

Proposition : déclaration qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux.

Exemples : « Il pleut. » ; « 2 est plus grand que 3. »

2) Connecteurs logiques

• Négation ($\neg$) : inverse la valeur de vérité.
• Conjonction ($\land$) : vrai si les deux propositions sont vraies.
• Disjonction ($\vee$) : vrai si au moins une des propositions est vraie.
• Implication ($\rightarrow$) : faux seulement si la première proposition est vraie et la seconde est fausse.
• Équivalence ($\leftrightarrow$) : vrai si les deux propositions ont la même valeur de vérité.

3) Tables de vérité

Les tables de vérité montrent la valeur de vérité d'une proposition complexe pour toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité de ses composants.

4) Formules bien formées (FBF)

Une FBF est une chaîne de symboles formée selon des règles spécifiques qui déterminent les combinaisons valides de propositions et de connecteurs.

II. Logique des prédicats

La logique des prédicats, également connue sous le nom de logique de premier ordre, étend la logique propositionnelle en ajoutant des prédicats, des quantificateurs et des variables.

1) Prédicats

Prédicat : fonction qui renvoie une valeur de vérité. Par exemple, « est rouge(x) » peut être vrai ou faux selon l'objet x.

2) Quantificateurs

• Quantificateur universel ($\forall$) : indique que la proposition est vraie pour tous les éléments d'un ensemble.

  Exemple : $\forall x \, P(x)$, « Pour tout $x$, $P(x)$ est vrai ».

• Quantificateur existentiel ($\exists$) : indique que la proposition est vraie pour au moins un élément de l'ensemble.

  Exemple : $\exists x \, P(x)$, « Il existe un $x$ tel que $P(x)$ soit vrai ».

3) Domaine de discours

Le domaine de discours est l'ensemble des éléments sur lesquels portent les variables de la logique des prédicats.

4) FBF en logique des prédicats

Une FBF en logique des prédicats inclut des variables, des prédicats, des connecteurs logiques, et des quantificateurs.

Je retiens

Logique propositionnelle : traite des propositions assemblées par des connecteurs logiques.

Logique des prédicats : ajoute des prédicats, des quantificateurs et des variables pour traiter des propositions plus complexes.