Les nombres relatifs, le repérage sur la droite graduée

I. Des nombres relatifs, pourquoi ?

Ils vont te permettre d’effectuer toutes les soustractions : par exemple, la soustraction $2 - 5$ n’est pas possible dans l’ensemble des nombres que tu connais actuellement.

De même, tu ne connais pas pour le moment de nombre que tu pourrais ajouter à $2$ pour obtenir une somme nulle.

II. Des exemples que tu connais

$\checkmark$ Au bulletin météorologique entendu cet hiver : "aujourd'hui, il fait 11°C à Tunis, 7°C à Toulouse, -3°C à Paris, -21°C à Montréal".

$\checkmark$ Tu as pris l'ascenseur à l'étage n°2 et tu es descendu de 3 étages, tu es donc arrivé à l'étage $-1$ appelé aussi sous-sol, c'est-à-dire que tu es en dessous du rez de chaussée noté $0$.

$\checkmark$ Température : une température de $+5$ degrés signifie $5$ degrés au-dessus de zéro, et $-5$ degrés signifie $5$ degrés en dessous de zéro. On dit que $+5$ et $-5$ sont opposés.

$+5$ degrés représente une température positive, alors que $-5$ degrés représente une température négative.

III. Définition

Les nombres négatifs et les nombres positifs forment l'ensemble des nombres relatifs.

Exemples :

0 est un nombre à la fois positif et négatif

-3,14 est un nombre négatif

4,5 est un nombre positif

-3,14 et 4,5 sont tous les deux des nombres relatifs.

IV . Opposé

$-5$ et $+5$ sont deux nombres opposés.

Soit un nombre relatif $a$. On appelle opposé de $a$ le nombre noté $-a$.
Sur la droite graduée, $a$ et $-a$ sont situés de part et d’autre de l’origine, à la même distance.

⚠️ le signe $-$ devant une lettre signifie simplement "l'opposé de"

Exemples : l'opposé de $2,5$ est $-2,5$ mais l'opposé de $-4,8$ est $+4,8$.

Propriétés :

$a + (-a) = 0$.
L’opposé de $-a$ est $-(-a) = a$.

V. Repérage sur une droite graduée

Chaque point d'une droite graduée est repéré par un nombre relatif : son abscisse.

Le point $O$ est le milieu du segment $[DE]$. Les points $D$ et $E$ sont situés à la même distance de $O$ ($OD = OE = 2$). Les nombres relatifs $-2$ et $2$ sont opposés.

VI. Je compare des nombres relatifs

$1.$ Comparaison de nombres relatifs de signes contraires

$-3,8 \lt 2,5$

Propriété : Si deux nombres relatifs sont de signe contraire, alors le plus petit est le nombre négatif.

$2.$ Comparaison de nombres relatifs de même signe

a) si les nombres relatifs sont positifs

$2,6 \lt 3,5$ : on dit que $2,6$ est inférieur à $3,5$.

et $4,7 \gt 2,4$ : on dit que $4,7$ est supérieur à $2,4$.

inférieur = plus petit que

supérieur = plus grand que

b) si les nombres relatifs sont négatifs $-6 \lt -3,5$

Propriété : Si deux nombres relatifs sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro.
Toute soustraction est maintenant réalisable : par exemple, $1,2 - 4,7 = -3,5$.

IV. Pour s’entraîner

Calculer mentalement quelques soustractions :
$2 - 6 = -4$,

$3,1 - 5,4 = -2,3$

Entraîne toi avec des nombres auxquels tu penses !

Déterminer l’opposé de chaque nombre :

l'opposé de $-7$ est $+7$,

l'opposé de $+2,8$ est .$-2,8$.