Les angles et le parallélisme

I. Droites parallèles et angles alternes-internes.

Propriété :
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternes-internes sont de même mesure.

Exemple : On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ parallèles coupées par une sécante $(d)$.

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
Les angles $\widehat{a_1}$ et $\widehat{b_2}$ sont alternes-internes.
Donc $\widehat{a_1} = \widehat{b_2}$.

II. Droites parallèles et angles correspondants

Propriété :
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles correspondants sont de même mesure.

Exemple : On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ parallèles coupées par une sécante $(d)$.

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
Les angles $\widehat{a_1}$ et $\widehat{b_1}$ sont correspondants.
Donc $\widehat{a_1} = \widehat{b_1}$.

III. Les propriétés réciproques

1. Avec des angles alternes-internes connus

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Exemple :

On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ coupées par une sécante $(d)$.
Les angles indiqués sur la figure sont alternes-internes et de même mesure (128°).
Donc les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

2. Avec des angles correspondants connus

Propriété :

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Les angles indiqués sur la figure sont correspondants et de même mesure (66°).
Donc les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.