Des résolutions d'équations trigonométriques expliquées pas à pas - digiSchool
Des résolutions d'équations trigonométriques expliquées pas à pas
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Tu vas revoir les équations trigonométriques dans R et sur des intervalles, et tu vas apprendre à écrire vite un ensemble solution sans te tromper d’angles. Tu vas aussi mémoriser les égalités de cosinus, sinus et tangente avec une méthode simple à refaire à chaque exercice.
Remarque importante : pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.
I. Équation cosinus dans R
cosU=cosVeˊquivaut aˋ dire U=V+k2π ou U=−V+k,′2π avec k et k,′ dans Z
Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.
Exercice 1
Résoudre dans R l'équation d'inconnue x , cos(2x)=23 Étape 1 : utiliser le cercle trigonométrique et/ou le tableau de valeurs remarquables afin de retrouver une valeur dont le cosinus vaut 23 Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, on peut dire que 23 est le cosinus de 6π par exemple. Exemples de résolution d'équations trigonométriques : image 7
Étape 2 : Utiliser ce résultat pour écrire l'équation proposée sous la forme " cosU=cosV "
L'équation proposée revient donc à écrire : x∈R , cos(2x)=cos(6π) On applique alors la propriété rappelée ci-dessus :
cos(2x)=cos(6π)⟺2x=6π+k2π ou 2x=−6π+k′2π avec k et k′ dans Z
Étape 3 : terminer les calculs si besoin Je divise par 2 chaque membre de chaque égalité, j'obtiens :
x=12π+kπ ou x=−12π+k′π avec k et k′ dans Z
Étape 4 : je conclus L'énoncé demandait les solutions dans R, on obtient pour ensemble solution :
S={12π+kπ,−12π+k′π,(k,k′)∈Z2}
Exercice 2
Résoudre dans ]−π;π] l'équation d'inconnue x , cos(2x)=23 Toute la démarche est la même, seul l'ensemble solution va être modifié.
On commence par résoudre l'équation proposée dans R comme précédemment, on trouve donc les mêmes valeurs de x réelles solutions de l'équation.
Étapes 1-2-3 réunies : x=12π+kπ ou x=−12π+k′π avec k et k′ dans Z
Étape 4 Mais il ne va falloir garder que les valeurs de x dans l'intervalle imposé c'est à dire dans ]−π;π]
Pour la première série de valeurs : x=12π+kπ avec k dans Z
Explication par deux exemples : Prenons par exemple la valeur k=−2 et remplaçons : on obtient 12π−2π ; cette valeur n'appartient pas à ]−π;π] ; il est donc évident que des valeurs de k inférieures à −2 ne conviendront pas non plus.
Par contre, si je choisis k=−1 : on obtient 12π−π ; cette valeur appartient à ]−π;π]. Il s'agit donc de trouver toutes les valeurs de k telles que les solutions trouvées appartiennent bien à l'intervalle imposé, en appliquant cette démarche de manière systématique.
Pour k=−1,12π−π=12−11π convient car appartient aˋ]−π;π]✓
Pour k=0,12π convient car appartient aˋ]−π;π]✓
Pour k=1,12π+π=1213π ne convient pas car n’appartient pas aˋ]−π;π]
Il est inutile de poursuivre pour la première série de valeur (car si pour k=1, la valeur trouvée n'appartient plus à l'intervalle, il en sera de même a fortiori pour des valeurs supérieures de k )
Faisons de même pour la deuxième série de valeurs
x=−12π+k′π avec k′ dans Z
Pour k′=−1,−12π−π n’appartient pas aˋ]−π;π]
Pour k′=0,−12π convient car appartient aˋ]−π;π]✓
Pour k′=1,−12π+π=1211π convient car appartient aˋ]−π;π]✓
Pour k′=2,−12π+2π ne convient pas car n’appartient pas aˋ]−π;π]
L'ensemble solution est donc :
S={−1211π;−12π;12π;1211π}
II. Équation sinus dans R
sinU=sinVeˊquivaut aˋ dire U=V+k2π ou U=π−V+k,′2π avec k et k,′ dans Z
Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.
Exercice 3
Résoudre dans [0;π[ l'équation d'inconnue x telle que : sin(5x)=cos(x)
Étape 1 : à l'aide du cercle trigonométrique, je retrouve une formule des angles associés qui me permet de remplacer l'équation proposée par une équation équivalente mais présentant une égalité de sinus.
Sur le cercle trigonométrique, je retrouve que : cos(x)=sin(2π+x). Je l'utilise pour transformer le second membre de l'équation proposée.
Le problème est donc désormais :
Résoudre dans [0;π[ l'équation d'inconnue x telle que : sin(5x)=sin(2π+x)
Étape 2 : je résous dans R (dans un premier temps) l'équation d'inconnue x telle que : sin(5x)=sin(2π+x) en utilisant la propriété du cours rappelée ci-dessus.
sin(5x)=sin(2π+x)⟺5x=2π+x+k2π ou 5x=π−(2π+x)+k′2π avec k et k′ dans Z
sin(5x)=sin(2π+x)⟺4x=2π+k2π ou 5x=2π−x+k′2π avec k et k′ dans Z
sin(5x)=sin(2π+x)⟺x=8π+k42π ou 6x=2π+k′2π avec k et k′ dans Z
sin(5x)=sin(2π+x)⟺x=8π+k2π ou x=12π+k′3π avec k et k′ dans Z
Étape 3 : je fais varier k et k′ dans Z pour ne garder que les solutions dans [0;π[
Pour la première série de valeurs :
Si k=−1 on obtient x=8π−2π , ne convient pas car inférieure à 0
Si k=0 on obtient x=8π✓
Si k=1 on obtient x=8π+2π=85π✓
Si k=2 on obtient x=8π+π , ne convient plus car supérieure à π
Pour la deuxième série de valeurs :
Si k′=−1 , on obtient x=12π−3π , ne convient pas car inférieure à 0
Si k′=0 , on obtient x=12π✓
Si k′=1 , on obtient x=12π+3π=125π✓
Si k′=2 , on obtient x=12π+32π=43π✓
Si k′=3 , on obtient x=12π+π , ne convient plus car supérieure à π
L'ensemble solution est donc : S={12π;8π;125π;85π;43π}
Remarque : le choix a été fait de transformer le cosinus en sinus et d'appliquer le résultat concernant l'égalité de sinus. Il était tout aussi légitime de transformer sin(5x) en cosinus à l'aide des formules d'angles associés, et d'utiliser le résultat concernant l'égalité de cosinus.
III. Équation tangente dans R
tanU=tanVeˊquivaut aˋ dire U=V+kπ avec k dans Z
Ce type d'équation se traite de la même manière que les précédentes, une fois le principe compris, et ne pose aucun problème particulier.
