Deux autres identités remarquables : pour aller plus loin

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I. Le carré d'une somme

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$, on a : $(a + b)² = a² + 2ab + b²$

Exemples

Développer
$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$

$= x^2 + 10x + 25$

$(5x + 3)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 3 + 3^2$

$= 25x^2 + 30x + 9$

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2$

$= 4x^2 + 4x + 1$

Calculer
$11^2 = (10 + 1)^2$

$\phantom{11²}= 10^2 + 2 \times 10 \times 1 + 1^2$

$\phantom{11²}= 100 + 20 + 1$

$\phantom{11²}= 121$

$13^2 = (10 + 3)^2$

$\phantom{11²}= 10^2 + 2 \times 10 \times 3 + 3^2$

$\phantom{11²}= 100 + 60 + 9$

$\phantom{11²} =169$

$22^2 = (20 + 2)^2$

$\phantom{11²}= 20^2 + 2 \times 20 \times 2 + 2^2$

$\phantom{11²}= 400 + 80 + 4$

$\phantom{11²}= 484$

$101^2 = (100 + 1)^2$

$\phantom{101²}= 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2$

$\phantom{101²}= 10~ 000 + 200 + 1$

$\phantom{101²}= 10~201$

II. Le carré d'une différence

Propriété

Pour tous nombres $a$ et $b$, on a :

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Exemples

Développer

$(x - 7)^2 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2$

$\phantom{(x-7)²}= x^2 - 14x + 49$

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2$

$\phantom{(2x-7)²}= 4x^2 - 12x + 9$

$(5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 3 + 3^2$

$\phantom{(5x-7)²}= 25x^2 - 30x + 9$

Calculer
$99^2 = (100 - 1)^2$

$\phantom{99²}= 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2$

$\phantom{99²}= 10 000 - 200 + 1$

$\phantom{99²}= 9 801$