Comprendre la symétrie centrale

I. Définition

La symétrie centrale fait tourner une figure d'un demi tour autour d'un point, appelé centre de la symétrie centrale.

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si en pivotant l'une d'elles d'un demi-tour ( 180° ) autour de O, elle se superpose sur l'autre.

Ci-dessus $\mathscr F$et $\mathscr F '$ sont symétriques par rapport au point $O$.
$\mathscr F '$est le symétrique de $\mathscr F$ par rapport à $O$.
$\mathscr F$ est le symétrique de $\mathscr F '$ par rapport à $O$.

II. Symétrique d'un point

Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O est le milieu de [ MM' ].
Le point O est son propre symétrique par rapport à lui-même.

Pour tracer le symétrique M' de M, on trace la droite ( OM ), puis avec le compas pointé en O, on reporte la distance OM de l'autre côté : M' est l'intersection de ( OM ) et du cercle de centre O et rayon OM.

III. Propriétés de la symétrie centrale

Les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés : la symétrie centrale conserve l'alignement.

La symétrique d'une droite est une droite parallèle à la première : la symétrie centrale conserve la direction.

Les symétriques A', B' et C' sont alignés. La droite ( A'B' ) symétrique de ( AB ) est parallèle à ( AB ).

Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur : la symétrie centrale conserve les longueurs.

$A'B' = AB$

Une figure symétrique est superposable à la figure d'origine : la symétrie centrale conserve les aires (puisque une aire s'obtient en faisant le produit de deux longueurs).

Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure : la symétrie centrale conserve les mesures d'angles.

$\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}$

IV. Centre de symétrie d'une figure

Un point est le centre de symétrie d'une figure, si le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure de départ.

Cas des figures usuelles :

Les triangles n'ont pas de centre de symétrie, sauf le triangle équilatéral

Les losanges, rectangles et carrés ont pour centre de symétrie le point d'intersection de leurs diagonales.

Le centre d'un cercle est centre de symétrie de ce cercle.

V. Exemple : ne confondons pas centre et axe de symétrie !

$1.$Quel(s) pictogramme(s) possède(nt) un centre de symétrie ?

$2.$Quel(s) pictogramme(s) possède(nt) un axe de symétrie ?

Solution :

$1.$ A, B et D possèdent un centre de symétrie, la figure peut tourner autour de ce point et se superposer à la figure initiale.

$2.$ C possède uniquement un axe de symétrie (on peut plier la figure suivant l'axe et une moitié vient se superposer à l'autre moitié).

Mais : A, B et D possèdent également des axes de symétrie.