Calculer une vitesse, une durée ou une distance

I. Rappels de cours

1) La relation fondamentale d=v×t

 Si $d$ désigne la distance parcourue, $t$ le temps mis pour parcourir cette distance et $v$ la vitesse moyenne réalisée, alors on peut appliquer la relation $d=v \times t$.

 Si l’on connaît deux grandeurs parmi $d$, $t$ et $v$, la relation permet de trouver la troisième grandeur.

2) Unités

Attention

Fais très attention aux unités utilisées !

 Si la vitesse est exprimée en mètres par seconde ($m.s^{-1}$ ou $\text{m/s}$) et le temps en secondes ($s$), alors on trouve la distance en mètres ($m$).

 Mais si la vitesse est exprimée en $\text{km/h}$ et le temps en secondes ($s$), il convient d’écrire d’abord celle-ci en $\text{m/s}$ pour obtenir la distance en mètres ($m$).

II. Méthodes

1) Calculer une distance parcourue

Un avion effectue un vol sans escale entre Paris et Antananarivo (ville située à Madagascar). Le vol s’effectue en 10 heures et 48 minutes à la vitesse moyenne de 815 km/h.

Quelle distance l’avion a-t-il parcouru ?

Conseils

Applique la relation $d=v \times t$, avec la vitesse moyenne $v$ en $\text{km/h}$ et le temps $t$ en heures ($h$). 

Solution

Nous savons que $v=815~\text{km/h}$ et $t=10~h~48~\text{min}$.

Exprimons le temps en heures :

$t=10~h+48~\text{min}$, soit $t=10~h+\dfrac{48}{60}~h$ ou encore $t=10,8~h$.

Alors $d=v \times t =815 \times 10,8$, soit $d=8~802~km$.

2) Calculer la durée d’un trajet

Lors d’un récent « Tour de France » à vélo, le vainqueur a parcouru les $3~657~\text{km}$ à la vitesse moyenne de $40,782~\text{km/h}$.
Calculer le temps mis pour accomplir le parcours.
Le résultat sera donné en heures, minutes et secondes, et il sera arrondi à une seconde près.

Conseils

La relation $d=v \times t$ s’écrit aussi $t=\dfrac{d}{v}$.

Solution

• Nous savons que $d=3~657~\text{km}$ et que $v=40,782~\text{km/h}$.
  

  Alors $t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{3~657}{40,782}$

  soit $t=89,672~h$.

• Exprimons le temps en heures, minutes et secondes.

$t=89~h+0,672~h$

or $0,672~h=0,672 \times 60~\text{min}$,

soit $0,672~h=40,32~\text{min}=40~\text{min}+0,32~\text{min}$

or $0,32~\text{min}=0,32 \times 60~s$

soit $0,32~\text{min}=19~s$, valeur arrondie à la seconde près.

Conclusion : $t=89~h~40~\text{min}~19~s$, valeur arrondie à la seconde près.

3) Calculer une vitesse moyenne

Un brillant athlète a couru un 400 mètres haies en 46 secondes et 78 centièmes. Calculer sa vitesse moyenne. Cette vitesse sera d’abord indiquée en $\text{m/s}$ et arrondie au $\text{cm/s}$ près, puis en $\text{km/h}$ et arrondie au centième.

Conseils

La relation $d=v \times t$ s’écrit aussi $t=\dfrac{d}{v}$

Solution

• Nous savons que $d=400~m$ et que $t=46,78~s$.

Alors $v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{400}{46,78}$ et, arrondie à $1~\text{cm/s}$ près, $v=8,55~\text{m/s}$.

• Exprimons maintenant la vitesse moyenne $v$ en $\text{km/h}$ :

il y a $\text{3~600}$ secondes dans 1 heure et $1~\text~{km}=1~000~m$, d’où :

$v=8,551~000~\text{km/s}$ ou encore $v=8,551~000\times 3~600~\text{km/h}$.

Conclusion : $v=30,78~\text{km/h}$, valeur arrondie au centième.