Calculer des périmètres

Rappels de cours

Formules donnant les principaux périmètres

Méthodes

Calculer le périmètre d’une pelouse

Monsieur Dujardin aime beaucoup les formes géométriques. Devant sa maison il a créé une pelouse dont voici un plan sommaire.

Le quadrilatère ABCD est un rectangle de longueur AB = 24 m et de largeur AD = 15 m.

$C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont trois demi-cercles de diamètres respectifs $\left[\text{AD}\right]$, $\left[\text{BC}\right]$ et $\left[\text{AB}\right]$.

Monsieur Dujardin souhaite enclore sa pelouse. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ? (Donner la valeur exacte puis un arrondi au mètre près.)

Repère
conseils

Calculez les périmètres de chacun des trois demi-cercles… et n’oubliez pas $\left[\text{CD}\right]$ !

 

Repère
Solution

Notons $p_1,p_2,p_3$ les périmètres respectifs des demi-cercles $C_1$, $C_2$ et $C_3$. Le périmètre $p$ de la pelouse est tel que :

$p=p_1+p_2+p_3+\text{CD}$.

Le périmètre d’un cercle de rayon $r$ mesure $2\times \pi \times r$, donc le périmètre d’un demi-cercle de rayon $r$ mesure $\pi \times r$.

Nous avons $p=\pi \times \frac{\text{AD}}{2}+\pi \times \frac{\text{BC}}{2}+\pi \times \frac{\text{AB}}{2}+\text{CD}$ ou encore

$p=\pi \times \frac{15}{2}+\pi \times \frac{15}{2}+\pi \times \frac{24}{2}+24$,

soit $p=27\times \pi +24$ mètres ou, arrondi au mètre près, $p=109\text{ m}$.

Conclusion : Monsieur Dujardin devra acheter 109 m de clôture.

Calculer le périmètre d’un octogone régulier

Soit $F$ un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 10 cm. Calculer la mesure exacte du périmètre de cet octogone. En donner ensuite une valeur approchée au mm près.

Repère
conseils

Calculez la mesure de l’angle $\widehat{\text{AOB}}$ puis celle de l’angle $\widehat{\text{AOI}}$ et enfin, à l’aide de la trigonométrie, la mesure de la distance AI. Déduisez-en la mesure d’un côté de l’octogone, puis la mesure du périmètre de la figure $F$.

 

Repère
Solution

Puisque l’octogone $F$ est régulier, ses 8 côtés ont la même mesure.

On a : $\widehat{\text{AOB}}=\frac{\text{360°}}{8}=\text{45°}$ et $\text{OA}=\text{10 cm}$. Le triangle AOB est isocèle en O, donc (OI) est bissectrice de l’angle $\widehat{\text{AOB}}$ et médiatrice du segment $\left[\text{AB}\right]$.

En conséquence, $\widehat{\text{AOI}}=\frac{\widehat{\text{AOB}}}{\text{2}}=\text{22,5°}$ et $\text{AI}=\frac{\text{AB}}{\text{2}}$.

Dans le triangle AOI, nous avons $\sin \widehat{\text{AOI}}=\frac{\text{AI}}{\text{OA}}$,

soit $\sin \mathrm{22,5}°=\frac{\text{AI}}{10}$ et $\text{AB}=20\times \sin \mathrm{22,5}°$.

Notons $p$ le périmètre de l’octogone régulier ABCDEFGH.

Alors $p=8\times \text{AB}$ et $p=160\times \sin \text{22,5°}$ est la valeur exacte de son périmètre.

$p=\mathrm{61,2}\text{ cm}$ en est une valeur arrondie au millimètre.