Calculer des périmètres

I. Rappels de cours

Formules donnant les principaux périmètres

_{(Nota : pour les smartphones, passer en mode paysage)}

II. Méthodes

1) Calculer le périmètre d’une pelouse

Monsieur Dujardin aime beaucoup les formes géométriques. Devant sa maison il a créé une pelouse dont voici un plan sommaire.

Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle de longueur $AB = 24 ~ m$ et de largeur $AD = 15 ~ m$.

$C_ 1$, $C_ 2$ et $C_ 3$ sont trois demi-cercles de diamètres respectifs $[AD]$, $[BC]$ et $[AB]$.

Monsieur Dujardin souhaite enclore sa pelouse. Quelle longueur de clôture doit-il acheter (donner la valeur exacte puis un arrondi au mètre près) ?

Conseils

Calcule les périmètres de chacun des trois demi-cercles … et n’oublie pas $[CD]$ ! 

Solution

Notons $p_1$, $p_2$ et $p_3$ les périmètres respectifs des demi-cercles $C_ 1$, $C_ 2$ et $C_ 3$. Le périmètre $p$ de la pelouse est tel que :

$p=p_1+p_2+p_3+CD$.

Le périmètre d’un cercle de rayon $r$ mesure $2 \times \pi \times r$, donc le périmètre d’un demi-cercle de rayon $r$ mesure $\pi \times r$.

Nous avons

$p=\pi \times \dfrac{AD}{2}+\pi \times \dfrac{BC}{2}+\pi \times \dfrac{AB}{2}+CD$

ou encore

$p=\pi \times \dfrac{15}{2}+\pi \times \dfrac{15}{2}+\pi \times \dfrac{24}{2}+24$,

soit $p=27 \times \pi+24$ mètres ou, arrondi au mètre près, $p=109 ~ m$.

Conclusion : Monsieur Dujardin devra acheter $109~m$ de clôture.

2) Calculer le périmètre d’un octogone régulier

Soit $F$ un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon $10~cm$. Calculer la mesure exacte du périmètre de cet octogone. En donner ensuite une valeur approchée au $mm$ près.

Conseils

Calcule la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ puis celle de l’angle $\widehat{AOI}$ et enfin, à l’aide de la trigonométrie, la mesure de la distance $AI$. Déduis-en la mesure d’un côté de l’octogone, puis la mesure du périmètre de la figure $F$.

Solution

Puisque l’octogone $F$ est régulier, ses $8$ côtés ont la même mesure.

On a :

$\widehat{AOB}=\dfrac{360^o}{8}=45^o$ et $OA=10~cm$. Le triangle $AOB$ est isocèle en $O$, donc $(OI)$ est bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$ et médiatrice du segment $[AB]$.

En conséquence, $\widehat{AOI}=\dfrac{\widehat{AOB}}{2}=22,5^o$ et $AI=\dfrac{AB}{2}$.

Dans le triangle $AOI$, nous avons $\sin \widehat{AOI}=\dfrac{AI}{OA}$,

soit $\sin 22,5^o = \dfrac{AI}{10}$

et $AB=20 \times \sin 22,5^o$.

Notons $p$ le périmètre de l’octogone régulier $ABCDEFGH$.

Alors $p=8 \times AB$ et donc $p=160 \times \sin 22,5^o$ est la valeur exacte de son périmètre.

Finalement $p=61,2~cm$ en est une valeur arrondie au millimètre.