Calculer des aires

Rappels de cours

Formules donnant les principales aires

Méthodes

Calculer les aires de figures planes

Soient un triangle de base $b=10\text{ cm}$ et de hauteur $h=\mathrm{4,5}\text{ cm}$  un disque de rayon $r=\mathrm{2,7}\text{ cm}$ et un trapèze de bases $B=6\text{ cm}$ et $b=5\text{ cm}$ et de hauteur $h^{\prime }=\mathrm{4,1}\text{ cm.}$

Classer en ordre décroissant les aires de ces trois figures.

Repère
Solution

Soit $A_1$ l’aire du triangle : $A_1=\frac{b\times h}{2}=\frac{10\times \mathrm{4,5}}{2}$ ou encore $A_1=\mathrm{22,5}{\text{ cm}}^2$.

Soit $A_2$ l’aire du disque : $A_2=\pi \times r^2=\pi \times {\mathrm{2,7}}^2$ ou encore $A_2=\mathrm{22,90}{\text{ cm}}^2$ à ${10}^{-2}$ près.

Soit $A_3$ l’aire du trapèze : $A_3=\frac{\left(B+b\right)\times h^{\prime }}{2}=\frac{\left(6+5\right)\times \mathrm{4,1}}{2}$ ou encore $A_3=\mathrm{22,55}{\text{ cm}}^2$.

Conclusion : le classement en ordre décroissant des trois aires est $A_2$, $A_3$ et $A_1.$

Calculer les aires d’une boule et d’un cylindre

Soit une boule de rayon $r=5\text{ cm}$ et un cylindre de révolution de hauteur $h=5\text{ cm}$ et dont la base a pour rayon $r^{\prime }=\mathrm{11,5}\text{ cm}$.

L’aire latérale du cylindre $A_2$ dépasse-t-elle de $\text{15 }\%$ l’aire $A_1$ de la boule ?

Repère
conseils

• Calculez les valeurs exactes des deux aires.

• Évaluez la différence des deux aires en fontion de l’aire de la boule.

 

Repère
Solution

• $A_1=4\times \pi \times r^2=4\times \pi \times 5^2$ ou $A_1=100\pi {\text{ cm}}^{\text{2}}$.

• $A_2=2\pi \times r^{\prime }\times h=2\pi \times \mathrm{11,5}\times 5$ ou $A_2=115\pi {\text{ cm}}^{\text{2}}$.

• Nous avons $A_2-A_1=115\pi –\text{100}\pi$, soit $A_2–A_1=15\pi$

ou encore $A_2–A_1=\frac{15}{100}\times 100\pi$. Donc $A_2-A_1=\frac{15}{100}{A}_1$.

attention ! Il est demandé de calculer l’aire latérale et non l’aire totale du cylindre !

Conclusion : l’aire latérale du cylindre de révolution dépasse bien de $\text{15 }\%$ celle de la boule.